Wie heißt der Aufgabentyp (Lineare Algebra)?

Question

Sei \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit den Eigenschaften

\( \varphi\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right), \varphi\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}\right), \varphi\left(\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \)
Finden Sie die eindeutig bestimmte Matrix \( A \in \mathbb{R}^{2 \times 3} \) mit der Eigenschaft
\( \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^{3}: \varphi(\vec{x})=A \cdot \vec{x} . \)
Lösungsvorschlag: Bestimme die Spalten von \( A \) einzeln:
- 1. Spalte:
\( \begin{aligned} A \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) &=\varphi\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\varphi\left(0 \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)-\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right) \\ &=0 \cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}\right)-\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned} \)
- 2. Spalte:
\( \begin{aligned} A \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=& \varphi\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\varphi\left(0 \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right) \\ &=0 \cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \end{aligned} \)
- S. Spalte:
\( \begin{aligned} A \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) &=\varphi\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\varphi\left(1 \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)-\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right) \\ &=1 \cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right)-\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}\right)+\frac{1}{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right) \end{aligned} \)
Also ist
\( A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right) \)

Ich verstehe hier jeden Rechenschritt, würde aber gern wissen, was das genau ist.

Was ist hier gesucht? Und wie weißt dieser Typ von Aufgaben.

Answer 1

Hier wird die darstellende Matrix zu \(\varphi\) gesucht bzgl.
der Standardbasen der zwei Räume.

Thema also "Darstellende Matrix zu linearer Abbildung bestimmen

bzgl. Basen"

Comments

@ermanus:

Wenn ich solche Aufgaben sehe, wird mir immer schlecht.

Wo im Leben spielt das eine Rolle?

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@Gast2016:

In der Physik treten ständig wegen linearer Variablentransformationen

konkrete Fälle solchen Problemtyps auf. Das war schon im

19. Jahrhundert so. In der Quantenphyik sind diese

Begrifflichkeiten normale Grundausstattung. Dort sind die

betrachteten Vektorräume häufig sogar unendlich-dimensional

(z.B. Hilberträume).

Die Darstellung der Quantentheorie mithilfe unendlich-reihiger

Matrizen ist geradezu ein klassisches Beispiel (Heisenberg).

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Besten Dank! Aber das geht weit über meinen Horizont hinaus, Herr Dr. rer. nat.

Mir ist das viel zu abstrakt.

Ich bewundere Menschen, die mit sowas umgehen können, unter dem

man sich nichts Konkretes mehr vorstellen kann.

In dubio pro Finanz-Mathe, auch wenn keine Zinsen mehr gibt. :)

Ich könnte Mathe nie studieren, weil mich vieles schlicht nicht

interessiert und verdammt trocken ist. (Beweise und ähnl. Zeug).

Suum cuique.

Fakt ist: Du bist ein toller Erklärer und Lehrer - und v.a. ein netter Mensch,

was man nicht von allen hier sagen kann.

ermanus locutus, causa finita.

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Heißt das Abbildungsmatrix oder Basiswechselmatrix?

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Das heißt Abbildungsmatrix:

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Danke dir! Vielen dank.

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Schau mal hier: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildungsmatrizen

Unten ist ein Beispiel. Ist das quasi meine Aufgabe?

Was wäre hier dann mein L,B und C?