Ökonomische Funktionen, welche Funktionsklasse?

Question

Hallöchen...

Folgende Aufgabe:

Ein Ökonom bezeichnet eine Funktion f auf [ 0 , ∝ ) als

A. Nutzenfunktion, wenn f streng wachsend und konkav ist,

B. neoklassische Kostenfunktion, wenn f streng wachsend und strikt konvex ist mit f(0) ≥ 0,

C. Nachfragefunktion, wenn f ≥ 0 und fallend ist.

Stellen Sie fest zu welchen Funktionsklassen A, B, C die folgenden Funktionen gehören:

 

u (x) = x³ + 6x² + 15x + 150     ( x ≥ 0)

v (x) = (2/ (1+x ) ) - ( 1 / (1+x)² )     ( x ≥ 0)

w (x) = 4(1-e^-x)                           (x ≥ 0)

 

Bei u(x) habe ich die neoklassische Kostenfunktion, weil u(0) ≥ 0 ist und laut den Erhaltungssätzen die Funktion streng wachsend und strikt konvex ist.

 

Bei w (x) habe ich die Nutzenfunktion, da w(x) streng wachsend ist und ich dachte eigentlich auch strikt konkav.

Kann mir vielleicht jemand sagen, wieso diese Funktion nur konkav ist?

 

Und bei v(x) bin ich verwirrt. Sie ist zwar auf jeden Fall ≥ 0 aber ich weiß nicht ob ich hier mit den Erhaltungssätzen weiter komme.. Mag Brüche nicht so ;)

 

Hilfe wäre großartig!

Answer 1

Bei u(x) habe ich die neoklassische Kostenfunktion, weil u(0) ≥ 0 ist und laut den Erhaltungssätzen die Funktion streng wachsend und strikt konvex ist.

u(x) = x^3 + 6·x^2 + 15·x + 150
u'(x) = 3·x^2 + 12·x + 15
u''(x) = 6·x + 12

Steigung u'(x)
3·x^2 + 12·x + 15 = 0
Keine Nullstellen daher streng monoton steigend

Krümmung u''(x)
6·x + 12 = 0
x = -2
Ab -2 konvex

Damit ist das eine klassische Kostenfunktion.

 

Bei w (x) habe ich die Nutzenfunktion, da w(x) streng wachsend ist und ich dachte eigentlich auch strikt konkav. Kann mir vielleicht jemand sagen, wieso diese Funktion nur konkav ist?

w(x) = 4·(1 - e^{-x})
w'(x) = 4·e^{-x}
w''(x) = - 4·e^{-x}

w'' ist meiner Meinung nach immer Negativ und damit strikt konkav.

Dieses wär meiner Meinung nach eine Nutzenfunktion.

 

Und bei v(x) bin ich verwirrt. Sie ist zwar auf jeden Fall ≥ 0 aber ich weiß nicht ob ich hier mit den Erhaltungssätzen weiter komme.. Mag Brüche nicht so ;)

v(x) = 2/(1 + x) - 1/(1 + x)^2 = (2·x + 1)/(x + 1)^2
v'(x) = - 2·x/(x + 1)^3 --> für x > 0 immer < 0
v''(x) = 2·(2·x - 1)/(x + 1)^4

Damit gehört diese in die Klasse der Nachfragefunktionen.