Zeigen Sie, dass R_{f} eine Äquivalenzrelation auf M definiert.

Question

Sei \( M \) eine Menge und \( f: M \rightarrow M \) eine Abbildung mit \( f(f(x))=x \) für alle \( x \in M \). Weiter sei
\( R_{f}=\left\{(x, y) \in M^{2} \mid y=x \text { oder } y=f(x)\right\} . \)
(a) Zeigen Sie, dass \( R_{f} \) eine Äquivalenzrelation auf \( M \) definiert.
(b) Zeigen Sie, dass es eine Menge \( M \) und eine Äquivalenzrelation \( R \) auf \( M \) gibt, welche nicht die Form \( R_{f} \) hat, d.h. es gilt \( R \neq R_{f} \) für alle \( f: M \rightarrow M \) mit \( f \circ f=\operatorname{id}_{M} \).

Comments

Hat jemand eine Idee dazu

Answer 1

Äquivalenzrelation : reflexiv , symmetrisch, transitiv.

reflexiv, da für alle x∈M gilt (x,x) ∈ R_f . [wegen der Bed. x=y ]

symmetrisch: Sei (x,y) ∈ Rf ==> x=y oder y=f(x)

Bei x=y gilt auch y=x, also klar.

Bei y=f(x) gilt wegen der Vor. über f:  f(y) = f(f(x)) = x

transitiv: Seien (x,y) und (y,z) ∈ Rf

==>  ( x=y oder y=f(x))  und (  y=z oder z=f(y) )

1. Fall x=y und y=z dann ja auch x=z also (x,z) ∈ Rf

2.Fall x=y und z=f(y) dann aber auch z=f(x), also (x,z) ∈ Rf

3. Fall   y=f(x) und  y=z  dann aber auch z=f(x), also (x,z) ∈ Rf

4. Fall   y=f(x) und z=f(y)

       ==>  f(y) = f(f(x)) = x , also  x=z   also (x,z) ∈ Rf.