Für welche Werte des Parameters a besitzen die Punkte A und B den Abstand d?

Question

Aufgabe:

Dreidimensionales Koordinatensystem Parameter

Problem/Ansatz:

Für welche Werte des Parameters a besitzen die Punkte A und B den Abstand d?

A(1|2|3)

B(2|a|11)

d = 9

Answer 1

Hallo,

Der Abstand d(A: B) zweier Punkte A \( \left(a_{1}\left|a_{2}\right| a_{3}\right) \) und B \( \left(b_{1}\left|b_{2}\right| b_{3}\right) \) im Raum berechnet sich nach folgender Formel:
\( \mathrm{d}(\mathrm{A} ; \mathrm{B})=\sqrt{\left(\mathrm{b}_{1}-\mathrm{a}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{b}_{2}-\mathrm{a}_{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{b}_{3}-\mathrm{a}_{3}\right)^{2}} \)

Hier also

\( \begin{aligned} d(A ; B) &=\sqrt{(2-1)^{2}+(2-a)^{2}+(3-11)^{2}} \\ &=\sqrt{1+64+(2-a)^{2}} \\ &=\sqrt{65+(2-a)^{2}} \end{aligned} \)

\( \sqrt{65+(2-a)^{2}}=9 \)
\( 65+(2-a)^{2}=81 \)
\( 65+4-4 a+a^{2}=81 \)
\( a^{2}-4 a-12=0 \)
\( a_{1/2} =2 \pm \sqrt{4+12} \)
\( a_{1}=-4 \quad a_{2}=6 \)

Gruß, Silvia

Answer 2

Hallo

A-B bilden, davon den Betrag=9 daraus a

Gruß lul

Comments

Kann ich nicht wirklich nachvollziehen.

Wie genau geht das bzw. was wäre die Lösung?

---

wie bestimmst du den Vektor von A nach B oder von B nach A?

wie bestimmst du die Länge eines Vektors?

anderer Weg, benutze den Pythagoras, und stell die die 2 Punkte auf der Raumdiagonalen eines Quaders vor.

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

Um von \(A(1|2|3)\) nach \(B(2|a|11)\) zu gelangen, musst du auf der \(x\)-Achse \((+1)\) auf der \(y\)-Achse \((+(a-2))\) und auf der \(z\)-Achse \((+8)\) Einheiten weitergehen:

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}2\\a\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\a-2\\8\end{pmatrix}$$Die Länge dieses Vektors folgt mit Pythagoras:$$\overline{AB}=\sqrt{1^2+(a-2)^2+8^2}=\sqrt{1+a^2-4a+4+64}=\sqrt{a^2-4a+69}$$\(a\) soll so gewählt werden, dass dieser Abstand \(=9\) ist:$$\left.\sqrt{a^2-4a+69}=9\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.a^2-4a+69=81\quad\right|-81$$$$\left.a^2-4a-12=0\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$(a+2)(a-6)=0$$Alternativ zum Faktorisieren kannst du auch die pq-Formel anwenden.

In jedem Fall erkennen wir zwei Lösungen:$$a=-2\quad;\quad a=6$$