Aloha :)
zu a) Wir machen das zusammen ausführlich, damit du es verstehst.
Zu Anfang gibt es ein Kapital \(K_0\). Am Ende des ersten Jahres, werden darauf \(2,2\%\) Zinsen gutgeschrieben:$$K_1=K_0+\frac{2,2}{100}\cdot K_0=K_0\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)$$Auf dieses neue Kapital \(K_1\) werden am Ende des 2-ten Jahres wieder \(2,2\%\) Zisnen gutgeschrieben:$$K_2=K_1+\frac{2,2}{100}\cdot K_1=K_1\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)=K_0\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)^2$$Auf dieses neue Kapital \(K_2\) werden am Ende des 3-ten Jahres wieder \(2,2\%\) Zisnen gutgeschrieben:$$K_3=K_2+\frac{2,2}{100}\cdot K_2=K_2\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)=K_0\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)^3$$
Erkennst du das Prinzip? Am Ende des n-ten Jahres ist das Startkapital \(K_0\) angewachsen auf:$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)^n$$
In dieser Aufgabe ist nun gefragt, nach wie vielen Jahren sich das Kapital verdoppelt hat:
$$\left.2K_0\stackrel!=K_0\cdot\left(1+\frac{2,2}{100}\right)^n=K_0\cdot1,022^n\quad\right|\colon K_0$$$$\left.2=1,022^n\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(2)=\ln\left(1,022^n\right)\quad\right|\text{verwende: }\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$$$\left.\ln(2)=n\cdot\ln\left(1,022\right)\quad\right|\colon\ln(1,022)$$$$n=\frac{\ln(2)}{\ln(1,022)}\approx31,85$$Nach etwa \(32\) Jahren hat sich das Kapital verdoppelt.
zu b) Wir verwenden wieder die Formel von oben als Startpunkt. Diesmal ist aber der Zinssatz nicht \(2,2\%\), sondern unbekannt. Wir nennen ihn \(i\) und wollen ihn bestimmen. Dafür wissen wir aber, dass sich das Kapital nach \(n=15\) Jahren verdoppelt hat:
$$\left.2K_0=K_0\cdot\left(1+\frac{i}{100}\right)^{15}\quad\right|\colon K_0$$$$\left.2=\left(1+\frac{i}{100}\right)^{15}\quad\right|\sqrt[15]{\cdots}$$$$\left.\sqrt[15]{2}=1+\frac{i}{100}\quad\right|-1$$$$\left.\sqrt[15]{2}-1=\frac{i}{100}\quad\right|\cdot100$$$$i=100\cdot\left(\sqrt[15]{2}-1\right)\approx4,73$$Bei \(4,73\%\) Zinsen verdoppelt sich das Kapital in \(15\) Jahren.
