Question

Zeigen Sie, dass F(x) = 5x² • ln(x) eine Stammfunktion von f ist, f(x) = 5x • (2 ln(x) + 1)

Answer 1

Aloha :)

Das zeigen wir am besten, indem wir die Stammfunktion \(F(x)\) ableiten. Diese Ableitung muss dann mit der Funktion \(f(x)\) identisch sein. Wir nutzen die Produktregel zum Ableiten:

$$F'(x)=\left(\underbrace{5x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}\right)'=\underbrace{10x}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}+\underbrace{5x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}=10x\ln(x)+5x$$$$\phantom{F'(x)}=5x\cdot(2\ln(x)+1)=f(x)\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo,

ableiten mit der Produktregel:

\(f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v'\\ F(x)=5x^2\cdot ln(x)\\u=5x^2\qquad u'=10x\\v=ln(x)\qquad v'=\frac{1}{x}\\ f(x)=10x\cdot ln(x)+5x^2\cdot \frac{1}{x}\\ =10x\cdot ln(x)+5x\\ =5x\cdot (2\;ln(x)+1)\)

Gruß, Silvia