Besteht eine Proportionalität zwischen p und V(p)?

Question

Wird ein Gas in einem Kolben zusammengedrückt, so wird sein Volumen kleiner. Sofern die Temperatur konstant gehalten wird, besteht zwischen dem Druck \( p \) und dem Volumen \( V(p) \) des Gases die Beziehung \( p \cdot V(p)=c \), wobei c eine Konstante ist ( \( p \) in Pascal, \( V(p) \) in Kubikmeter).
1) Besteht eine Proportionalität zwischen \( p \) und \( V(p) \) ?
2) Wie ändert sich das Volumen des Gases, wenn der Druck vervierfacht wird?
3) Auf welchen Teil muss der Druck gesenkt werden, damit sich das Volumen des Gases verfünffacht?
4) Um wie viel Prozent nimmt das Volumen zu, wenn der Druck um \( 10 \% \) abnimmt?

Answer 1

1.

Wenn das Volumen verringert wird dann erhöht sich der Druck im Inneren.

V und p sind also NICHT proportional sondern antiproportional.

2.

V ~ 1/p

Wird der Druck vervierfacht nimmt der Druck auf 1/4 ab.

3.

p ~ 1/V

Man erhält den 5 fachen Druck wenn man das Volumen auf 1/5 des Ursprünglichen Volumens senkt.

4.

V ~ 1/(p·(1 - 0.1)) = 10/9·1/p = (1 + 1/9)·1/p

Das Volumen nimmt um 1/9 = 0.1111 = 11.11% zu

Answer 2

1)   Die sind antiproportional (produktgleich)

2) Wie ändert sich das Volumen des Gases, wenn der Druck vervierfacht wird?

Es wird ein Viertel von vorher.

3) Auf welchen Teil muss der Druck gesenkt werden, damit sich das Volumen des Gases verfünffacht?

1/5

4) Um wie viel Prozent nimmt das Volumen zu, wenn der Druck um \( 10 \% \) abnimmt?

ca 11%

Comments

2) Wie ändert sich das Volumen des Gases, wenn der Druck vervierfacht wird?

Es wird ein Drittel von vorher

Warum nicht 1/4 von vorher?

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Erwischt. Danke, ich korrigiere das.

Answer 3

Aloha :)

$$p\cdot V=c\quad;\quad c=\text{const}$$

zu 1) Proportionalität bedeutet, dass die eine Größe mit der anderen mitwächst. Wenn wir hier aber \(p\) verdoppeln, muss sich \(V\) halbieren, damit das Produkt konstant bleibt. Man sagt in diesem Fall, dass die beiden Größen anti-proportional zueinander sind:$$p=\frac cV\quad;\quad V=\frac cp$$

zu 2) Der Druck um das 4-fache erhöht:$$p_1=p\quad;\quad p_2=4p\quad;\quad V_1=V\quad;\quad V_2=?\quad\implies$$$$p_1V_1=c=p_2V_2\implies V_2=\frac{p_1V_1}{p_2}=\frac{pV}{4p}=\frac{V}{4}$$Das Volumen \(V_2\) verringert sich also um den Faktor \(4\).

zu 3) Das Volumen soll sich verfünffachen:$$p_1=p\quad;\quad p_2=?\quad;\quad V_1=V\quad;\quad V_2=5V\quad\implies$$$$p_1V_1=c=p_2V_2\implies p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}=\frac{pV}{5V}=\frac{p}{5}$$Der Druck \(p_2\) verringert sich um den Faktor \(5\).

zu 4) Der Druck nimmt um \(10\%\) ab:$$p_1=p\quad;\quad p_2=0,9p\quad;\quad V_1=V\quad;\quad V_2=?\quad\implies$$$$p_1V_1=c=p_2V_2\implies V_2=\frac{p_1V_1}{p_2}=\frac{pV}{0,9p}=\frac{V}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}V$$Das Volumen wird um \(\frac19\) also etwa \(11,11\%\) größer.