Wir wissen schonmal, dass \( 0.1 \) irgendeine Binärdarstellung hat, sei es
\(\begin{aligned} 0.1=\sum \limits_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} 2^{-i}, \quad \alpha_{i} \in\{0,1\}\end{aligned} \)
(Wenn \( 0.1 \) eine endliche Darstellung hat, so sind die \( \alpha_{i} \) ab einem gewissen Punkt einfach alle 0). Um nun \( \alpha_{1} \) herauszufinden, können wir beide Seiten mit 2 multiplizieren, also
\(\begin{aligned} 0.2=\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} 2^{-i+1}=\alpha_{i}+\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i-1} 2^{-i}\end{aligned} \)
da \( \alpha_{1} 2^{-1+1}=\alpha_{1} \). Da nun aber die linke Seite, also \( 0.2 \), kleiner als 1 ist, muss \( \alpha_{1}=0 \) gelten, sonst hätten wir einen widerspruch. Wenn du man zum Punkt kommt, dass die Multiplikation mit 2 dazu führt, dass die linke Seite größer als 1 wird, so ist das dazugehörige \( \alpha \) also 1 , und du subtrahierst also die 1 und machst mit den Zahlen hinter dem Komma weiter (solange diese noch ungleich 0 sind). Diesen Prozess kann man nun fortführen, wir interessieren uns jedoch lediglich dafür, wieviele \( \alpha_{i} \neq 0 \) sind, also insbesondere suchen wir jenes \( n \) für welches \( 2^{n} \cdot 0.1 \) eine ganze Zahl ist, wenn denn ein solches existieren sollte.
\(\begin{aligned} 2^{n} \cdot 0.1=k \in \mathbb{N} \Longrightarrow 2^{n}=10 k \Longrightarrow 2^{n} \bmod 10=0 \Longrightarrow 5 \mid 2^{n}\end{aligned} \)
Nun ist jedoch die Primfaktorzerlegung von \( 2^{n} \) ebenfalls \( 2^{n} \), da 2 eine Primzahl ist, und 5 kommt in dieser Primfaktorzerlegung für kein \( n \in \mathbb{N} \) vor. Dies beduetet also insbesondere, dass kein solches \( n \in \mathbb{N} \) existiert, die binäre Darstellung von \( 0.1 \) also unendlich ist, sie also nicht exakt darstellbar ist in einem endlichen Zahlensystem.
