Berechne die Fläche A

Question

Aufgabe:

1 < β < e

f(x) = \( \frac{1}{x(1-lnx)} \)

a) Berechne die Fläche A(β) begrenzt durch den Graphen der Funktion f(x) und durch die Geraden x = 1, x = β und y = 0.

b) Bestimme β so, dass A(β) = ln2

Problem/Ansatz:

Integral ist ja klar, aber wie sehen die Begrenzungen des Integrals aus? Sind diese dann auch x = 1 und x = β?

Answer 1

\(1 < β < e\)

\(f(x)= \frac{1}{x*(1-lnx)} \)

a) Berechne die Fläche A(β) begrenzt durch den Graphen der Funktion f(x) und durch die Geraden x = 1, x = β und y = 0.

\(A(β)=\int\limits_{1}^{β} \frac{1}{x*(1-lnx)}*dx= \)

Comments

Edit muss nochmal nachrechnen

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Okay \(A(β)=\int\limits_{1}^{β} \frac{1}{x*(1-lnx)}*dx= \) = -ln|1-lnβ|

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Jetzt stimmt es :)

Answer 2

b)

\( A(β = \sqrt{e} ) = \ell n \, 2 \)

Comments

Jetzt nur noch -ln|1-lnβ| = ln2 setzen und für β lösen... und dann müsste ich auch auf β = \( \sqrt{e} \) kommen, danke!!!

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Noch ne kleine Frage mit dem Betrag. Kann ich den einfach fallen lassen wegen der Beschränkung 1 < β < e oder soll ich einfach in 2 Fällen rechnen und die Lösung die außerhalb von 1 < β < e liegt verwerfen?

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welchen Betrag?

Kontrolllösung vom CAS (das sich wegen der Polstelle etwas schwer getan hat):

Answer 3

Zunächst den Graphen

Das Intervall geht von x = 1 bis x = e
Über den Pol kommen wir nicht hinaus.

f ( x ) = 1 /( x * (1-ln(x)))
Stammfunktion
S ( x ) = -ln * ( ln (x ) - 1 )
S zwischen 1 und beta
-ln * ( ln (beta ) - 1 ) - [ -ln * ( ln (1 ) - 1 )]
A ( beta ) = -ln * ( ln (beta ) - 1 )

mfg