Integration von Wurzelfunktionen

Question

Aufgabe:

Integration von Wurzelfunktionen

Die Aufgabe:

y^2=3x

y^2=9/2(x-1)

ich habe  3x-(9/2(x-1) berechnet die Grenzen sind 0bis 3

ich habe dann integriert und kommt 6,75 heraus ist aber falsch

Comments

Was ist die eigentliche Aufgabe? Wenn auch x=0 zum irgendwie relevanten Bereich gehören soll, wäre y^2=4.5(x-1) nicht erfüllbar??

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Die Aufgabe:
y²=3x
y²=9/2(x-1)

Das ist keine Aufgabe. Das ist eine Liste von Gleichungen.

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Berechne den Inhalt eines Flächenstücks, das von den Parabeln mit den Gleichungen y^2=3x und y^2= 9/2(x-1) begrenzt wird !

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Es muss doch eine in Worte gefasste Aufgabenstellung geben, etwa "Berechne das Integral...." oder "Berechne die Fläche ..."

Answer 1

Stell dir also einfach die x und y-Achse vertauscht vor.

Dann hast du nur zwei Parabeln.

Funktionen der Parabeln aufstellen

y^2 = 3·x --> x = 1/3·y^2

y^2 = 9/2·(x - 1) --> x = 2/9·y^2 + 1

Schnittpunkte / bzw. nur y-Koordinate der Schnittpunkte

1/3·y^2 = 2/9·y^2 + 1 --> y = -3 ∨ y = 3

Flächenstück

A = ∫ (-3 bis 3) ((2/9·y^2 + 1) - (1/3·y^2)) dy = 4

Answer 2

Hallo,

man kann natürlich die Integrale über den Wurzel-Funktionen berechnen. Man kann aber auch über \(y\) integrieren. Umgestellt nach \(x\) gibt:$$x= \frac13 y^3;\quad \quad x= \frac29 y^2+1$$Die Schnittpunkte liegen bei \((3;\,\pm3)\). Folglich sind \(y=\pm3\) die Integrationsgrenzen für die Berechnung der Fläche \(F\)

Und die Rechnung vereinfacht sich nun zu$$F=\int\limits_{y=-3}^{3}\left(\frac29y^2+1 -\frac13y^2\right)\,\text dy\\ \phantom{F}= \int\limits_{y=-3}^{3}\left(-\frac19y^2+1\right)\,\text dy\\ \phantom{F}= \left.-\frac1{27}y^3+y\right|_{y=-3}^{3} \\ \phantom{F}= 2-(-2)\\\phantom{F}=4$$Guß Werner

Answer 3

\(2\cdot\int_0^3(\sqrt{4.5x-4.5}-\sqrt{3x})dx\)

Comments

Diese "Antwort" zu geben, nachdem schon im ersten Kommentar darauf hingewiesen wurde, dass die erste Wurzel im Integrationsbereich nicht (überall) definiert ist, finde ich dreist.

Answer 4

\(y^2=3x\)

\(x=\frac{y^2}{3}\)

Umkehrfunktion:   \(f(x)=\frac{x^2}{3}\) in rot

\(y^2= \frac{9}{2} * (x-1)\)

\(y^2= \frac{9}{2} *x-\frac{9}{2}\)

\( \frac{9}{2} *x=y^2+\frac{9}{2}\)

\( x=\frac{2}{9}*y^2+1\)

Umkehrfunktion:   \( g(x)=\frac{2}{9}*x^2+1\) in grün

Da die beiden Parabeln zur y-Achse symmetrisch sind, gilt

\(A= 2*\int\limits_{0}^{3}(g(x)-f(x))*dx \)