Anwendung der Standardnormalverteilungstabelle

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X sei normalvereilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15

A) wie wahrscheinlich ist es einen Messwert zwischen 90 und 95 zu erhalten?

B) welche Prozentränge entsprechen den Messwerten 100, 110,120,130?

Problem/Ansatz:

Wie soll ich diese Aufgabe lösen? Verstehe gar nichts mehr!

Answer 1

Wenn die Standardabeichung 15 ist, entsprcht der Wert 90 (=µ-10) dem Wert \(µ- \frac{2}{3} \sigma.\)

Der Wert 95 (=µ-5) entspricht dem Wert \(µ- \frac{1}{3} \sigma.\)

Berechne also \(Φ( -\frac{1}{3})-Φ( -\frac{2}{3})\)

Answer 2

Aloha :)

Gegeben: \(X\) ist normal-verteilt mit \(\mu=100\) und \(\sigma=15\).

Du kannst jede normal-verteilte Zufallsvariable \(X\) durch die Transformation \(z\coloneqq\frac{x-\mu}{\sigma}\) auf eine standard-normal-verteilte Zufallsvariable \(Z\) zurückführen, für die du die Verteilungsfunktion \(\Phi(z)\) mit deinem Taschenrechner bestimmen kannst oder in einer Tabelle nachschlagen kannst. \(\Phi(z)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable \(Z\) einen Wert kleiner (oder gleich) \(z\) hat: \(P(Z<z)=\Phi(z)\).

$$P(90<X\le95)=P(X\le95)-P(X\le90)=\Phi\left(\frac{95-100}{15}\right)-\Phi\left(\frac{90-100}{15}\right)$$$$\phantom{P(90<X\le95)}=\Phi\left(-\frac13\right)-\Phi\left(-\frac23\right)=0,369441-0,252493=0,116948$$

Bei den Prozenträgen brauchst du nur zu transformieren:

$$P(X<100)=\Phi\left(\frac{100-100}{15}\right)=\Phi\left(0\right)=0,5=50\%$$$$P(X<110)=\Phi\left(\frac{110-100}{15}\right)=\Phi\left(\frac23\right)=0,747507\approx74,8\%$$$$P(X<120)=\Phi\left(\frac{120-100}{15}\right)=\Phi\left(\frac43\right)=0,908789\approx90,9\%$$$$P(X<130)=\Phi\left(\frac{130-100}{15}\right)=\Phi\left(2\right)=0,977240\approx97,7\%$$