Berechne das Produkt ohne elektronisches Werkzeug

Question

Berechne ohne elektronisches Werkzeug: \( \prod_{k=1}^{99}{\frac{(k+1)!+k!}{(k+1)!-k!}} \).

Answer 1

$$\frac{(k+1)!+k!}{(k+1)!-k!} = \frac{k! \cdot (k+1) + k!}{k! \cdot (k+1) - k!} = \frac{1 \cdot (k+1) + 1}{1 \cdot (k+1) - 1} = \frac{k+2}{k}$$

Damit wird das Produkt zu

$$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{4} \cdot ... \cdot \frac{98}{96} \cdot \frac{99}{97} \cdot \frac{100}{98} \cdot \frac{101}{99} = \frac{100 \cdot 101}{1 \cdot 2} = 50 \cdot 101 = 5050$$

Answer 2

$$=\prod_{k=1}^{99}\frac{k!(k+1+1)}{k!(k+1-1)}=\prod_{k=1}^{99}\frac{k+2}{k}=\frac{\prod_{k=3}^{101} k}{\prod_{k=1}^{99} k}=\frac{100\cdot 101\cdot \prod_{k=3}^{99} k}{1\cdot 2\cdot \prod_{k=3}^{99} k}=5050$$