Diskussion einer Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(2 \mathrm{e}^{x}-2\right) \)

a) Bestimmen Sie Definitionsbereich und Nullstellen von \( f \),

b) die lokalen Minimal- bzw. Maximalstellen von \( f \),

(c) die Wendestellen von \( f \).

(d) Wo ist \( f \) konvex bzw. konkav,

(e) monoton wachsend bzw. monoton fallend?

Problem/Ansatz:

Answer 1

\( f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(2 \mathrm{e}^{x}-2\right) \)

D: \((-∞≤x≤∞)\)

Nullstellen:

\(e^{x}≠0 \)

\(2e^{x}-2=0 →  x=0   \)

\(f´(x)=e^x*(2e^{x}-2 )+e^x*2e^x=4e^{2x}-2e^x\)

\(f´´(x)=8e^{2x}-2e^x\)

\(4e^{2x}-e^x=0\)

\(e^x*(4 e^x-1)=0\)

\(e^x=\frac{1}{4}\)

Wendepunkt: \(x=ln(\frac{1}{4})\)      \(f(ln(\frac{1}{4}))=\frac{1}{4}*(\frac{1}{2}-2)=-\frac{3}{8}\)

Comments

g(x) ist konvex:   \(ln(\frac{1}{4})<x≤∞)\)

g(x) ist konkav: \(-∞≤x<ln(\frac{1}{4})\)

monoton wachsend bzw. monoton fallend

Monoton wachsend bedeutet, dass es eine Steigung ≥0 gibt.

Monoton fallend bedeutet, dass es eine Steigung ≤0 gibt.