Berechnen von bestimmten Integralen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale

$\int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x \quad \quad \int \limits_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\sqrt{2-x^{3}}} \mathrm{~d} x$

Problem/Ansatz:

Habe die letzten beiden Teilaufgaben nicht geschafft und bitte um Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier kannst du den Integranden zerlegen:$$\frac{1}{x^4-1}=\frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{\frac12(x^2+1)-\frac12(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{\frac12}{(x^2-1)}-\frac{\frac12}{(x^2+1)}$$$$\phantom{\frac{1}{x^4-1}}=\frac{\frac14(x+1)-\frac14(x-1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{\frac12}{(x^2+1)}=\frac{\frac14}{x-1}-\frac{\frac14}{x+1}-\frac{\frac12}{x^2+1}$$

Damit haben wir das Integral auf Standard-Integrale zurückgeführt. Um etwas Rechenarbeit zu sparen, nutzen wir noch aus, dass der Integrand achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Dazu integrieren wir nur über den positiven Anteil und verdoppeln das Ergebnis$$I_a=\int\limits_{-\frac12}^{\frac12}\frac{1}{x^4-1}\,dx=2\int\limits_{0}^{\frac12}\frac{1}{x^4-1}\,dx=\frac12\int\limits_{0}^{\frac12}\frac{1}{x-1}\,dx-\frac12\int\limits_{0}^{\frac12}\frac{1}{x+1}\,dx-\int\limits_{0}^{\frac12}\frac{1}{x^2+1}\,dx$$$$\phantom{I_a}=\left[\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|-\arctan(x)\right]_{0}^{\frac12}=\frac12\ln\left|-\frac12\right|-\frac12\ln\left|\frac32\right|-\arctan\left(\frac12\right)$$$$\phantom{I_a}=\frac12\ln\left|\frac{-\frac12}{\frac32}\right|-\arctan\left(\frac12\right)=-\frac12\ln(3)-\arctan\left(\frac12\right)\approx-1,012954$$

zu b) Hier würde ich $u(x)\coloneqq x^3$ mit $\frac{du}{dx}=3x^2$ bzw. $du=3x^2\,dx$ substituieren:$$I_b=\int\limits_0^1\frac{x^5}{\sqrt{2-x^3}}\,dx=\frac13\!\int\limits_0^1\frac{x^3}{\sqrt{2-x^3}}\,(3x^2\,dx)=\frac13\!\!\!\int\limits_{u(0)}^{u(1)}\frac{u}{\sqrt{2-u}}\,du=\frac13\!\int\limits_{0}^{1}\frac{u}{\sqrt{2-u}}\,du$$und anschließend eine partielle Integration durchführen:$$I_b=\frac13\int\limits_0^1 u\cdot\underbrace{(2-u)^{-\frac12}}_{=v'}\,du=\left[\frac{1}{3}u\cdot\underbrace{(-2)(2-u)^{\frac12}}_{=v}\right]_{u=0}^1-\frac13\int\limits_0^11\cdot\underbrace{(-2)(2-u)^{\frac12}}_{=v}\,du$$$$\phantom{I_b}=-\frac23+\frac23\int\limits_0^1(2-u)^{\frac12}\,du=-\frac23-\frac23\left[\frac{(2-u)^{\frac32}}{\frac32}\right]_{u=0}^1=-\frac23-\frac49\left[(2-u)^{\frac32}\right]_{u=0}^1$$$$\phantom{I_b}=-\frac23-\frac49\left(1-2^{\frac32}\right)=-\frac{10}{9}+\frac{8\sqrt2}{9}=\frac{8\sqrt2-10}{9}\approx0,145968$$

Answer 2

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/