Integral mit Substitutionsmethode

Question

Aufgabe:

$\displaystyle \int \frac{y+5}{y^{2}-6y+10}\,dy$

Problem/Ansatz:

Wie kann man dieses integral mit der Substitutionsmethode berechnen?

Answer 1

Probiere mal z=y-3 also y=z+3, dann kommst du auf

$\int \frac{z+8}{z^2 + 1 } dz = \int \frac{8}{z^2 + 1 } dz + 0,5 \int \frac{2z}{z^2 + 1 } dz$

Das 1. Int. geht mit arctan und im 2. ist ein Bruch,

dessen Nennerableitung im Zähler steht, also eine Stammfunktion

8 arctan(z) + 0,5 ln(z²+1) .

Answer 2

Aloha :)

Zur Verwendung der Substitutionsregel ist es immer gut, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners auftaucht oder umgekehrt. Wir können diese Situation hier teilweise herstellen:$$\int\frac{y+5}{y^2-6y+10}\,dy=\frac12\int\frac{2y+10}{y^2-6y+10}\,dy=\frac12\int\frac{2y-6+16}{y^2-6y+10}\,dy$$$$\phantom{\int\frac{y+5}{y^2-6y+10}\,dy}=\frac12\int\frac{2y-6}{y^2-6y+10}\,dy+\frac12\int\frac{16}{y^2-6y+10}\,dy$$

Im ersten Integral steht im Zähler die Ableitung des Nenners. Wir substituieren:$$u\coloneqq y^2-6y+10\implies\frac{du}{dy}=2y-6\implies dy=\frac{du}{2y-6}\implies$$$$\frac12\int\frac{2y-6}{y^2-6y+10}\,dy=\frac12\int\frac{2y-6}{u}\,\frac{du}{2y-6}=\frac12\int\frac1u\,du=\frac12\ln|u|=\frac12\ln|y^2-6y+10|$$

Das zweite Integral bauen wir zunächst noch etwas um:$$\frac12\int\frac{16}{y^2-6y+10}\,dy=\int\frac{8}{(y^2-6y+9)+1}\,dy=\int\frac{8}{(y-3)^2+1}\,dy$$und substituieren nun:$$v\coloneqq y-3\implies\frac{dv}{dy}=1\implies dy=dv\implies$$$$\int\frac{8}{(y-3)^2+1}\,dy=8\int\frac{1}{v^2+1}\,dv=8\arctan(v)=8\arctan(y-3)$$

Damit sind wir fertig:$$\int\frac{y+5}{y^2-6y+10}\,dy=\frac12\ln|y^2-6y+10|+8\arctan(y-3)+\text{const}$$