Aloha :)
Du sollst eine Funktion \(f(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(x;y)=\text{const}\) optimieren. Das heißt, die Nebenbedingung \(g(x;y)=\text{const}\) gibt die möglichen Punkte \((x;y)\) vor, unter denen du diejenigen finden sollst, die die Funktion \(f(x;y)\) extremal machen:$$f(x;y)=xy\quad;\quad g(x;y)=2x^4-3x^2+2y^2=0$$
Nach Lagrange muss in den Extrema der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, bedeutet dies formal:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}f(x;y)\implies\binom{y}{x}=\lambda\binom{8x^3-6x}{4y}$$Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, divdieren wir die Gleichung der ersten Koordinaten durch die der zweiten Koordinate:$$\frac{y}{x}=\frac{8x^3-6x}{4y}\implies 4y^2=8x^4-6x^2\implies 2y^2=4x^4-3x^2$$Diese Lagrange-Bedingung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0\stackrel!=2x^4-3x^2+(4x^3-3x^2)=6x^4-6x^2=6x^2(x^2-1)=6x^2(x-1)(x+1)$$Wir finden als mögliche Lösungen: \(x=-1\;;\;x=0\;;\;x=1\).
Die zugehörigen \(y\)-Werte folgen durch Einsetzen der \(x\)-Werte in die Lagrange-Bedingung:$$x=-1\implies2y^2=4-3=1\implies y^2=\frac12\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt 2}$$$$x=0\implies 2y^2=0-0=0\implies y=0$$$$y=1\implies 2y^2=4-3=1\implies y^2=\frac12\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$
Wir haben also 5 Kandidaten für Extremwerte:$$K_1\left(-1\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\right)\;;\;K_2\left(-1\bigg|+\frac{1}{\sqrt2}\right)\;;\;K_3\left(0|0\right)\;;\;K_4\left(1\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\right)\;;\;K_5\left(1\bigg|\frac{1}{\sqrt2}\right)$$
Anhand der Vorzeichen kann man Maxima und Minima abschätzen:$$\text{Maxima bei } f(\vec k_1)=f(\vec k_5)=\frac{1}{\sqrt2}\quad;\quad\text{Minima bei } f(\vec k_2)=f(\vec k_4)=-\frac{1}{\sqrt2}$$Bei \(K_3\) liegt kein Extremum vor.
