Stetigkeit bei komponentenweise definierter Funktion

Question

Hallo, ich habe diese Aufgabe im Analysis 2 Buch entdeckt, jedoch steht nicht die Lösung dazu.

Könnte mir jemand bei diesem Beweis weiterhelfen?

Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum und \(\R^n\) versehen mit der euklidischen Metrik \(\|.\|_2\).
Eine Abbildung \(f : X \to \R^n, x \mapsto f(x) = (f_1(x),...,f_n(x))\), ist genau dann stetig, wenn alle \(f_i : X \to \R\) mit \(i\in \{1,...,n\}\) stetig sind.

Answer 1

Sei x∈X und f stetig in x.

==>   ∀ε>0   ∃δ>0    ∀x'∈Uδ(x)     || f(x)-f(x')|| <ε

                                          ==>  \( \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^n (f_i(x)-f_i(x'))^2} < ε \)

Also gilt für jedes  i ∈ {1,...,n}  auch   | f_i(x)-f_i(x')| <ε ;   denn

\( \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^n (f_i(x)-f_i(x'))^2} > \sqrt{ (f_i(x)-f_i(x'))^2} =  |f_i(x)-f_i(x')| \).

Gilt umgekehrt für jedes   i ∈ {1,...,n} , dass es für jedes ε>0 ein δ>0 gibt

mit  | f_i(x)-f_i(x')| <ε  für alle x' ∈U_δ(x) , und ist ε>0 vorgegeben.

Dann gibt es auch für jedes i ∈ {1,...,n}  zu \( \frac{ε}{n}  \) ein δ_i>0 

mit | f_i(x)-f_i(x')| <    \( \frac{ε}{n}  \)  für alle x' ∈U_δi(x)  .

Für das Minimum δ der δi gilt dann also für alle    i ∈ {1,...,n}

| f_i(x)-f_i(x')| <    \( \frac{ε}{n}  \)  für alle x' ∈U_δ(x)  .

==>   \( \sum \limits_{i=1}^n |f_i(x)-f_i(x')| < ε \)

Und weil \( \sum \limits_{i=1}^n |f_i(x)-f_i(x')| >  \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^n (f_i(x)-f_i(x'))^2}  \)

gilt also auch   || f(x)-f(x')|| <ε   . Somit f stetig in x.

Answer 2

Hallo :-)

Du kannst auch mit der komponentenweisen Konvergenz argumentieren.

\(f\) kannst du ja hier als Komponenten aufschreiben: \(f=(f_1,...,f_n)\)

Ich zeige mal eine Richtung:

Sei \(f: X\to \R^n\) stetig. Dann gilt für jedes \((a_1,...,a_n)=:a\in X\): Für jede Folge \((x_k)_{k \in \N}\) (\(x_k:=(x_{k1},...,x_{kn})\)) mit \(\lim\limits_{k\to \infty} x_k=a\in X\) gilt \(\lim\limits_{k\to \infty} f(x_k)=f(a)\), bzw \(\lim\limits_{k\to \infty} \|f(x_k)-f(a)\|_2=0\). Aus der komponentenweisen Konvergenz folgt für alle \(i \in \{1,...,n\}\), dass \(\lim\limits_{k\to \infty} |f_i(x_k)-f_i(a)|=0\), bzw. \(\lim\limits_{k\to \infty} f_i(x_k)=a_i\) gilt. Also sind alle Komponentenfunktionen \(f_i:X\to \R\) stetig, \(i\in \{1,...,n\}\).

Analog geht das umgekehrt.