Stetigkeit bei komponentenweise definierter Funktion

Question

Hallo, ich habe diese Aufgabe im Analysis 2 Buch entdeckt, jedoch steht nicht die Lösung dazu.

Könnte mir jemand bei diesem Beweis weiterhelfen?

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\R^n$ versehen mit der euklidischen Metrik $\|.\|_2$.
Eine Abbildung $f : X \to \R^n, x \mapsto f(x) = (f_1(x),...,f_n(x))$, ist genau dann stetig, wenn alle $f_i : X \to \R$ mit $i\in \{1,...,n\}$ stetig sind.

Answer 1

Sei x∈X und f stetig in x.

==>   ∀ε>0   ∃δ>0    ∀x'∈Uδ(x)     || f(x)-f(x')|| <ε

                                          ==>  $\sqrt{ \sum \limits_{i=1}^n (f_i(x)-f_i(x'))^2} < ε$

Also gilt für jedes  i ∈ {1,...,n}  auch   | f_i(x)-f_i(x')| <ε ;   denn

$\sqrt{ \sum \limits_{i=1}^n (f_i(x)-f_i(x'))^2} > \sqrt{ (f_i(x)-f_i(x'))^2} = |f_i(x)-f_i(x')|$.

Gilt umgekehrt für jedes   i ∈ {1,...,n} , dass es für jedes ε>0 ein δ>0 gibt

mit  | f_i(x)-f_i(x')| <ε  für alle x' ∈U_δ(x) , und ist ε>0 vorgegeben.

Dann gibt es auch für jedes i ∈ {1,...,n}  zu $\frac{ε}{n}$ ein δ_i>0 

mit | f_i(x)-f_i(x')| <    $\frac{ε}{n}$  für alle x' ∈U_δi(x)  .

Für das Minimum δ der δi gilt dann also für alle    i ∈ {1,...,n}

| f_i(x)-f_i(x')| <    $\frac{ε}{n}$  für alle x' ∈U_δ(x)  .

==>   $\sum \limits_{i=1}^n |f_i(x)-f_i(x')| < ε$

Und weil $\sum \limits_{i=1}^n |f_i(x)-f_i(x')| > \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^n (f_i(x)-f_i(x'))^2}$

gilt also auch   || f(x)-f(x')|| <ε   . Somit f stetig in x.

Answer 2

Hallo :-)

Du kannst auch mit der komponentenweisen Konvergenz argumentieren.

$f$ kannst du ja hier als Komponenten aufschreiben: $f=(f_1,...,f_n)$

Ich zeige mal eine Richtung:

Sei $f: X\to \R^n$ stetig. Dann gilt für jedes $(a_1,...,a_n)=:a\in X$: Für jede Folge $(x_k)_{k \in \N}$ ($x_k:=(x_{k1},...,x_{kn})$) mit $\lim\limits_{k\to \infty} x_k=a\in X$ gilt $\lim\limits_{k\to \infty} f(x_k)=f(a)$, bzw $\lim\limits_{k\to \infty} \|f(x_k)-f(a)\|_2=0$. Aus der komponentenweisen Konvergenz folgt für alle $i \in \{1,...,n\}$, dass $\lim\limits_{k\to \infty} |f_i(x_k)-f_i(a)|=0$, bzw. $\lim\limits_{k\to \infty} f_i(x_k)=a_i$ gilt. Also sind alle Komponentenfunktionen $f_i:X\to \R$ stetig, $i\in \{1,...,n\}$.

Analog geht das umgekehrt.