Warum wird bei einer Gleichung der Kehrwehrt (Reziproke) auf beiden Seiten gemacht?

Question

Kann mir jemand sagen, warum bei einer Gleichung der Kehrwehrt (Reziproke) auf beiden Seiten gemacht wird?

Answer 1

Entnommen aus dem Artikel: Kehrwert bei einer Gleichung

Kehrwert bei einer Gleichung

Der Kehrwert bei einer Gleichung kann angesehen werden als eine mehrfache Multiplikation bzw. Division der entsprechenden Werte.

Äquivalenzumformung anhand eines Beispiels:

5/15 = 3/9
5:15 = 3:9     | * 9
9 * 5:15 = 9 * 3:9     | *15
15 * 9 * 5:15 = 15 * 9 * 3:9     | als nächstes kürzen
1 * 9 * 5:1 = 15 * 1 * 3:1
9 * 5 = 15 * 3
9 * 5 = 15 * 3     | :3
9 * 5 : 3 = 15 * 3 :3     | :5
9 * 5 : 3 :5 = 15 * 3 :3 :5     | als nächstes kürzen
9 * 1 : 3 :1 = 15 * 1 :1 :5
9 : 3 = 15 : 5
9/3 = 15/5
15/5 = 9/3

5/15 = 3/9 ist also äquivalent zu 15/5 = 9/3

Das heißt, statt der langen Rechnung oben, können wir einfach schreiben:

5/15 = 3/9  | Kehrwert

15/5 = 9/3

Selbstverständlich kannst du für das Beispiel oben auch Variablen einsetzen, sofern Nenner und Zähler ungleich 0 sind.

Falls du also eine Gleichung lösen sollst, kannst du gleich den Kehrwert nehmen, um dir mehrere Multiplikationen zu sparen, Beispiel:

15 / x = 3 / 10   | Kehrwert
x / 15 = 10 / 3   | *15
x = 15 * 10 / 3
x = 50

Fertig :)

Comments

Funktioniert den Kehrwert zu bilden ohne Weiteres auch bei Summen und Differenzen?

Ich habe diesen Kniff erst vor kurzem kennen gelernt und bin seither gut damit gefahren, aber heute saß ich an einer Gleichung, bei der ich ohne weiteres ausschließen konnte, dass hinterher 0 im Nenner steht und trotzdem ergab das Reziproke ein von der "normalen" Umformung unterschiedliches Ergebnis.

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Den Kehrwert kannst du auch bei Summen bilden, dann muss aber die gesamte Summe berücksichtigt werden. Zum Beispiel:

$$ 2 +3 = \frac { 1 }{ x } \\ \frac { 2 + 3 }{ 1 } = \frac { 1 }{ x } \quad \text{| Kehrwert} \\ \frac { 1 }{ 2 + 3 } = \frac { x }{ 1 } \\ \frac { 1 }{ 2 + 3 } = x \\ \frac { 1 }{ 5 } = x $$

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Oh, vielen Dank, das hätte ich hier auch falsch gemacht. Dann hab ich es jetzt.

Answer 2

Wenn zwei Zahlen a und b identisch sind, dann gilt

a = b

aber natürlich auch

1/a = 1/b

weil es ja genau die selben Zahlwerte sind. (Abgesehen mal von a=b=0, da kann man den Kehrwert nicht bilden, weil 1/0 nicht definiert ist)

Und deshalb ist "den Kehrwert nehmen" eine Äquivalenzumformung, solange keine der beiden Seiten der Gleichung 0 ist, das heißt, sie verändert die Lösungsmenge der Gleichung nicht.

Wenn du zum Beispiel die einfache Gleichung

1/x = 2

vor dir hast, dann kannst du auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen und erhältst

x = 1/2

Comments

wie ist es wenn es negativ ist?.

zb. -1/y = lnx +c ?..

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Kehrwert macht aus

-1/y = lnx +c

y/(-1) = 1/(lnx + c)           | nun rechne links und rechts mal -1

y = -1/(lnx + c) 

Das brauchst du so nur, wenn du y suchst. 

Alternativ

-1/y = lnx +c          |*(-1)

1/y = -(lnx + c)   | Kehrwert

y = 1/(-(lnx+c))  | Bruchrechenregeln

y = -1/(lnx + c)