Konvergenzradius und Grenzwert

Question

Aufgabe:

$$\sum_{n=0}^{\infty}{3^{n+(-1)^n}\cdot x^n}$$

Zeigen sie, dass die Reihe den Konvergenzradius $$\frac{1}{3}$$ besitzt und bestimmen sie im Anschluss einen Term für den Grenzwert in Abhängigkeit von X.

Problem/Ansatz:

Zunächst habe ich versucht das Ganze mit dem Wurzelkriterium zu lösen, was auch funktioniert so weit ich das sagen kann. Allerdings kommt man irgendwann an die Stelle

$$\sqrt[n]{3^{n+(-1)^n}}=3^{(k+(-1)^n) \cdot \frac{1}{n}}$$

und diese Umformung dürfen wir nicht verwenden. Mir fällt aber kein anderer Weg ein. Zum zweiten Teil der Aufgabe habe ich bisher nichtmal einen Ansatz.

Answer 1

Es ist \(\sqrt[n]{3^{n+(-1)^n}}=3\cdot c_n\) mitt \(c_n=\sqrt[n]{3^{(-1)^n}}\).

Für gerade \(n=2m\) ist \(c_n=\sqrt[n]{3}\rightarrow 1\) für \(m\rightarrow \infty\).

Für ungerade \(n=2m+1\) ist \(c_n=1/\sqrt[n]{3}\rightarrow 1/1=1\)  für \(m\rightarrow \infty\).

Also \(R=1/(3\cdot 1)=1/3\).

Comments

Hey, vielen Dank. Komisch, dass ich das nichtmal gesehen habe. Kannst du vielleicht noch etwas zum zweiten Teil sagen, also wie ich einen Term für den Grenzwert finde?

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Zum 2. Teil: Zerlege die Reihe in die Summanden mit geradem Index (n=2k) und ungeradem Index (n=2k+1) und verwende die Formel für die geometrische Reihe.