Likelihoodfunktion, Laplaceverteilung und gemeinsame Dichte

Question

Aufgabe:

Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \sim \operatorname{Lap}(\mu, \sigma) \) u.i.v. Zufallsvariablen.

(i) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte \( f \) von \( \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \).

(ii) Geben Sie die dazugehörige Likelihoodfunktion an.

Problem/Ansatz:

Comments

X1, . . . , Xn ∼ N (μ, σ2) u.i.v. (unabhängig, identisch verteilte) Zufallsvariablen.

Dann ist die gemeinsame Dichte

\( f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f_{1}\left(x_{1}\right) \cdot \ldots \cdot f_{n}\left(x_{n}\right)=\prod \limits_{i=1}^{n} f_{i}\left(x_{i}\right) \text {, } \)
wobei \( f_{i} \) die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen \( X_{i} \) bezeichnet. In unserem Fall lautet
\( \begin{aligned} f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) &=\prod \limits_{i=1}^{n} f_{i}\left(x_{i}\right)=\prod \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \\ &=\left(2 \pi \sigma^{2}\right)^{-\frac{n}{2}} \exp \left(\sum \limits_{i=1}^{n}-\frac{\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \end{aligned} \)

Wie mache ich das aber bei der Laplacefunktion?

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Die gemeinsame Dichte bei der Laplacefunktion ist ja:

\( f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\prod \limits_{i=1}^{n} f_{i}\left(x_{i}\right)=\prod \limits_{i=1}^{n} \)\( f(x)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x-\mu|}{\sigma}} \)

Wie rechne ich aber jetzt weiter?