Warum ist e hoch den natürlichen Logarithmus einer Zahl durch n gleich die n.te Wurzel dieser Zahl?

Question

Frage: Warum ist e hoch den natürlichen Logarithmus einer Zahl durch n die n.te Wurzel dieser Zahl?

$$e^{(ln(9)/2)}=3$$

Problem/Ansatz:

Stehe da gerade auf dem Schlauch....e und ln heben sich ja auf, aber warum wird dann aus dem $$9/2 ein 9^{1/2}?$$

Answer 1

$$e^{ln(x):2} = e^{ln(x) \cdot \frac{1}{2}} = \left( e^{ln(x)} \right)^\frac{1}{2} = \sqrt{e^{ln(x)}} = \sqrt{x}$$

Answer 2

Hoch 1/2 ist gleich Wurzel.

Comments

Ja, das hab ich ja geschrieben.

Nur steht im Ausgangsterm kein hoch 1/2, sondern $$ln(x)/2$$.

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...es gibt da so Potenzgesetze.

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Es steht da

$$e^{\frac{ln9}{2}}=3$$

also

$$e^{(ln 9)\frac{1}{2}}=3$$

Answer 3

ln9 = ln3² = 2*ln3

2/2 = 1

-> e^(ln3) = 3

e und ln heben sich auf.

Answer 4

$e^{(\ln(9)/2)}$

$=(e^{\ln(9)})^{(1/2)}$

$=9^{(1/2)}=3$

Comments

Leuchtet ein...:)