Linearkombinationen von Vn und Vm

Question

Betrachten Sie die nachstehende Folge von Vektoren des \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( V=\mathbb{R}^{2} \) :
\( v_{1}=(1,2), \quad v_{2}=(3,4), \quad v_{3}=(5,6), \quad \ldots, \quad v_{n}=(2 n-1,2 n), \quad \ldots \)
Schreiben Sie, für \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m \neq n \), die Vektoren \( (1,2) \) und \( (1,0) \) explizit als Linearkombinationen von \( v_{m} \) und \( v_{n} \).

Weiß jemand wie man auf Vm kommt? Muss Vm ≠ Vn sein?

Answer 1

Für m≠n ist v_m≠v_n ; denn es ist ja

\(v_{n}=(2 n-1,2 n)\)   und also \(v_{m}=(2 m-1,2 m)\) 

Also brauchst du für (1,2) jedenfalls x,y mit

x*2n+y*2m = 2   bzw  x*n+y*m=1    und

x*(2n-1) + y*(2m-1) = 1

==>  x= (1-m)/(n-m) und y= (n-1)/(n-m)

z.B. Probe mit n=5 und m=3 gibt

(1,2) = -1 * v₅ + 2*v₃ =(-9;10) +(10;12) ✓

Comments

Hey, danke für deine Hilfe. Müsste ich dann  für die Aufgabe die Vektoren (1,2) und (1,0)  als Linearkombination von (2n-1, 2n) und (2m-1, 2m) zeigen? Bei mir würden da etwas komische Werte rauskommen, deshalb war ich mir unsicher.

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Doch, so ist das wohl gemeint.

Hab mal was ergänzt.

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Jo, darauf komme ich auch. Perfekt, danke dir.

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Wie kommst du auf:

==>  x= (1-m)/(n-m) und y= (n-1)/(n-m) 

egal wie ich es drehe oder wende, ich komme auf:

x = -(n/m)/(n/m-1) und y = 1/(n/m - 1)

Answer 2

Frage (d):

(d) Bestimmen Sie alle linear unabhängigen Teilmengen der Menge \( \left\{v_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \).

Antwort zu d):

Zeige, dass aus \(\{(2k-1,2k),(2l-1,2l)\}\) linear abhängig, folgt, dass \(k=l\) ist.

Comments

Hey, danke für deine Hilfe. Aber Ist das überhaupt gefragt bei der Aufgabe?

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Nein, aber dummerweise, konnte ich bei
https://www.mathelounge.de/939693/alle-linear-unabhangige-teilmengen-bestimmen

nicht mehr antworten. Dort wurde die Frage d) gestellt

und der Moderator hat die Antwortmöglichkeit leider abgeschnitten.

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Könntest du die bitte hier nochmal schreiben?

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(d) Bestimmen Sie alle linear unabhängigen Teilmengen der Menge \( \left\{v_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \).

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Meinte deine Antwort zu der Aufgabe (d) bzw. bezieht sich deine Antwort auf die (d)? Falls ja inwiefern hilft es mir bei der Aufgabe

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Die steht doch oben:

Zeige, dass aus \(\{(2k-1,2k),(2l-1,2l)\}\) linear abhängig, folgt, dass \(k=l\) ist.

Also setze an:

\(\lambda(2k-1,2k)=\mu(2l-1,2l)\) mit \(\lambda,\mu\neq 0\) und schließe auf \(k=l\).