Vektorrechnung Ebenengleichung bestimmen für Parameter mit LGS

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist die Ebene E: $\vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$.
a) Prüfen Sie, ob die Punkte $\mathrm{A}(3|2| 1), \mathrm{B}(1|4| 2)$ und $\mathrm{C}(-1|2| 3)$ in $\mathrm{E}$ liegen.
b) Für welchen Wert des Parameters a liegen die Punkte $\mathrm{D}(\mathrm{a}|\mathrm{a}+3| 3)$ bzw. $\mathrm{F}(\mathrm{a}|2 \mathrm{a}| 3)$ in $\mathrm{E}$ ?
c) Kann der Punkt $P(a|-a| 2 a+2)$ in E liegen?

Problem/Ansatz:

Mir geht es um die Aufgabe c)

Der besagte Punkt mit dem Parameter a muss für den X-Vektor in die Ebenengleichung eingesetzt werden und dann durch ein LGS gelöst werden.

Hier habe ich Probleme und komme auf keine Lösungen, da ich nicht weiß wie ich an s oder a komme, nachdem ich r = -3/2 bestimmte (Gleichung 1+2). Durch einsetzen von r in eine der anderen Gleichungen komme ich an keine Lösung, weil 2 Parameter Gesucht sind (a+s) und ich nur r habe.

Würde mich über einen Zielführenden Rechenweg freuen

Answer 1

Aloha :)

Die ganze Aufgabe ließe sich sehr einfach erledigen, wenn du die Ebenengleichung zuerst aus der Parameterform mit $r$ und $s$ in die sog. Koordinatenform umschreiben würdest.

Ich vermute, dass ihr das Vektorprodukt noch nicht eingeführt habt, daher machen wir diese Umformung ausführlich:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+r-s\\1+r+s\\1+s\end{pmatrix}$$

Die letzte Gleichung lautet $(z=1+s)$, also ist $(s=z-1)$. Das setzen wir ein:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+r-(z-1)\\1+r+(z-1)\\1+(z-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+r-z\\r+z\\z\end{pmatrix}$$

Die mittlere Gleichung lautet $(y=r+z)$, also ist $(r=y-z)$. Das setzen wir ein:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+(y-z)-z\\(y-z)+z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+y-2z\\y\\z\end{pmatrix}$$Die beiden letzten Gleichungen sind klar, die wichtige Information steckt in der verbliebenen ersten Gleichung, also in $(x=3+y-2z)$. Die schreiben wir etwas um:$$\boxed{E\colon\;x-y+2z=3}$$

Jetzt prüfen wir, ob der Punkt $(a|-a|2a+2)$ in der Ebene liegt:$$x-y+2z=a-(-a)+2(2a+2)=6a+4\stackrel!=3\implies a=-\frac16$$

Für $a=-\frac16$ liegt der Punkt in der Ebene, für alle anderen $a$ nicht.

Answer 2

[2, 1, 1] + r·[1, 1, 0] + s·[-1, 1, 1] = [a, -a, 2·a + 2] --> a = - 1/6 ∧ r = - 3/2 ∧ s = 2/3

Der Punkt liegt für a = - 1/6 in der Ebene.

Gleichungssystem

r - s - a = - 2
r + s + a = - 1
s - 2·a = 1

II - I ; III

2·s + 2·a = 1
s - 2·a = 1

II + I

3·s = 2 → s = 2/3

Rückwärts auflösen

(2/3) - 2·a = 1 --> a = - 1/6

r + (2/3) + (- 1/6) = - 1 --> r = - 3/2

Answer 3

Durch einsetzen von r in eine der anderen Gleichungen komme ich an keine Lösung

Durch einsetzen von r in beide anderen Gleichungen bekommst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Löse dieses Gleichungssystem.