Aloha :)
Wir konstruieren die Abbildungsmatrix \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\)
Die Basis des Bildes ist \(\binom{1}{0}\), d.h, die \(y\)-Komponente des Bildes eines jeden Vektors muss \(0\) sein:$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{?}{0}\implies\binom{a_{11}}{a_{21}}\cdot x+\binom{a_{12}}{a_{22}}\cdot y=\binom{?}{0}$$Da \(x\) und \(y\) beliebig gewählt werden können, folgt \(a_{21}=a_{22}=0\).
Nun soll \(\binom{1}{-1}\) im Kern liegen, das heißt:$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\0 & 0\end{pmatrix}\binom{1}{-1}=\binom{?}{0}\implies\binom{a_{11}}{0}-\binom{a_{12}}{0}=\binom{0}{0}\implies a_{11}=a_{12}$$
Weitere Vorgaben haben wir nicht, außer natürlich, dass \(a_{11}=a_{12}\) nicht Null sein dürfen, weil wir sonst nur den Nullvektor als Bild hätten. Wir wählen \(a_{11}=a_{12}=1\), sodass:$$A=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 &0\end{pmatrix}$$
