Bestimme die Basis von Kern(phi)

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in V=\mathbb{R}^{2 \times 2} \) und \( \varphi: V \rightarrow V \) definiert durch \( \varphi(X)=A X A \) für alle \( X \in V \).

Problem/Ansatz:

Bestimme die Basis von Kern(phi)

mfg

ulong

Answer 1

Aloha :)

Mit der vorgegebenen Matrix \(A\) wird eine beliebige Matrix \(X\)$$A=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}$$durch die Funktion \(\varphi\) wie folgt abgebildet:$$\varphi(X)=AXA=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}=(x_{21}+x_{22})\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}=(x_{21}+x_{22})\,A$$

Die Abbildung \(\varphi(X)\) ist also genau dann \(=0\), wenn \((x_{21}+x_{22}=0)\) gilt. An die Komponenten \(x_{11}\) und \(x_{12}\) werden keine Bedingungen gestellt, sie sind unabhängig voneindaner wählbar. Daher ist$$\text{Kern}(\varphi)=\left(\;\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\;\right)$$

Comments

Hi,

eine Basis von Kern wäre dann z.B.

                  oder man könnte auch

als Basis von Kern nehmen, oder?

mfg

ulong

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Ja genau, weil an die Koordinaten \(x_{11}\) und \(x_{12}\) keine Bedingnugen gestellt werden... hatte ich oben vergessen, trage ich noch nach.