Exponentialfunktionen und Logarithmus

Question

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Abschnitt 6 - Extremwerte
Aufgabe 6.1 - Exponentialfunktion und Logarithmus
Bitte leiten Sie folgende Funktionen (auf einem Zettel) nach \( x \) ab!
Geben Sie alle Antworten mit Begründung und detaillierten Zwischenrechnungen!
a) \( f(x)=x \cdot e^{\frac{1}{x}} \)
b) \( f(x)=x \cdot \ln (x)-1 \)
c) \( f(x)=x^{x} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz: ich verstehe irgendwie überhaupt nicht wie ich vorgehen muss. Kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Answer 1

Nutze die gelernten Ableitungsregeln (dazu sind sie da).

Produktregel und Kettenregel wären zwei heiße Tipps.

Bei a) kannst du z.B. \( u(x)=x \) und \(v(x)=e^{\frac{1}{x}} \) für die Produktregel ansetzen.

Beim Bilden von v'(x) musst du dann noch die Kettenregel verwenden, weil \( e^{\frac{1}{x}} \) eine Verkettung der Funktion e^x mit der Funktion 1/x ist.

Comments

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Vielen Dank! Das wäre ewig auch meine Frage gewesen wie ich die Kettenregel anwende, da man glaube ich zumindest keine innere Ableitung nehmen kann, da jetzt nichts in einer Klammer angegeben ist. Sorry ich mache das zum ersten Mal

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Kommentiert vor 54 Minuten von Gast2016

Kannst du das etwas verständlicher ausführen?

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Ich habs herausgefunden vielen Dank für die Mühe!

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Freut mich!                                         .

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Text erkannt:

a) \( f(x)=\frac{x}{u} \cdot \underbrace{e \frac{1}{x}} \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x)=1 \cdot e^{\frac{1}{x}}+x \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \cdot e^{\frac{1}{x}} \end{array} \)

Text erkannt:

a) \( \begin{aligned} f(x) &=\frac{x}{u} \cdot e^{\frac{1}{x}} \\ f^{\prime}(x) &=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) &=1 \cdot e^{\frac{1}{x}}+x \cdot-\frac{1}{x^{2}} \cdot e^{\frac{1}{x}} \end{aligned} \)

Wäre das so richtig?

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Ja,das ist ein guter Anfang. Nun vereinfache noch den zweiten Summanden und Klammere den gemeinsamen Faktor aus.

Answer 2

Ich würde dir da einfach https://www.ableitungsrechner.net/ empfehlen, dort kannst du nämlich den gesamten Rechenweg sehen inklusive der Erklärungen, welche Ableitungsregeln du wann und wie anwenden kannst. Hoffentlich hilft dir das weiter!

Comments

Vielen Dank! Genau was ich brauche.