Eigenfunktionen und Eigenwerte berechnen

Question

Aufgabe:

Wir definieren die sog. Hermite'schen Funktionen als

\( \psi_{n}(t)=(-1)^{n} e^{t^{2} / 2} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} t^{n}} e^{-t^{2}} \)
mit \( n \in \mathbb{N}_{0} \). Weiterhin lassen Sie sich rekursiv definieren als \( \psi_{n}(t)=t \psi_{n-1}(t)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \psi_{n-1}(t) \). Zeigen Sie induktiv, dass die \( \psi_{n} \) Eigenfunktionen der Fouriertransformation sind, und berechnen Sie die Eigenwerte.
Hinweis: Sie dürfen in (b) ohne Beweis benutzen, dass
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-t^{2} / 2} e^{-i t s} \mathrm{~d} t=\sqrt{2 \pi} e^{-s^{2} / 2} \)

Problem/Ansatz:

Moin, hat jemand einen Ansatz für die Aufgabe?

Answer 1

Eigenfunktionen:

Aufgrund der Rekursionsgleichung gilt:

(I) \( F( ψ(n) ) = F ( t*ψ(n-1)) + F(- \frac{d}{dt} ψ(n-1)) \)

wegen \( F( t*f() ) = -i*t*F( f() ) \) folgt

(I) \( F( ψ(n) ) = -i*t* F( ψ(n-1)) + i* \frac{d}{dt} F( ψ(n-1) ) \)

(I) \( F( ψ(n) ) = -i * [ t * F( ψ(n-1)) - \frac{d}{dt} F( ψ(n-1) ) ]  \)

Sei \( F( ψ(n-1) ) = λ_{n-1}*ψ(n-1) \), dann folgt aus (I)

(II) \( F( ψ(n) ) = -i * [ t * λ_{n-1}*ψ(n-1) - \frac{d}{dt} λ_{n-1}*ψ(n-1) ] \)

Aufgrund der Rekursionsgleichung:

(II) \( F( ψ(n) ) = -i * λ_{n-1}*ψ(n) = λ_n*ψ(n) \) mit \( λ_n = -i * λ_{n-1} \)

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Eigenwerte:

\( F( ψ(0)) = F( e^{-t^2/2}) = \sqrt{2π}ψ(0) = \sqrt{2π} \)

Somit gilt \( λ_{0} = \sqrt{2π} \) und \( λ_{k} = \sqrt{2π} * i^{-k} \), k ∈ N.