Woher weiß ich, in welcher Reihenfolge ich integrieren muss?

Question

Aufgabe:

Bilden Sie das Dreifachintegral $\iiint_{G} f(\vec{x}) \mathrm{d} V$ für folgende Funktion $f$ über dem Gebiet $G$.
$f(x, y, z)=z \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad G=\{(r, \varphi, z) \mid 1 \leq r \leq 2,0 \leq \varphi \leq \pi / 4,0 \leq z \leq 1\}$

Problem/Ansatz:

Woher weiß ich, in welcher Reihenfolge ich integrieren muss?

Answer 1

Aloha :)

Die Integrationsreihenfolge spielt dann eine Rolle, wenn die Grenzen einer Integrations-variablen von einer anderen Integrationsvariablen abhängen. Das ist hier nicht der Fall:$$r\in[1;2]\quad;\quad\varphi\in\left[0;\frac\pi4\right]\quad;\quad z\in[0;1]$$

Diese Grenzen sind in Zylinerkoordinaten gegeben. Die zu integrierende Funktion liegt jedoch in kartesischen Koordinaten $(x;y;z)$ vor und muss erst mittels$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad dV=dx\;dy\;dz=r\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$

in Zylinderkoordinaten umgerechnet werden$$f(x;y;z)=z\sqrt{x^2+y^2}=z\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}=z\sqrt{r^2}=zr=f(r;\varphi;z)$$

Das gesuchte Dreifachintegral lautet dann:$$I=\iiint\limits_Gf(x;y;z)\,dV=\int\limits_{r=1}^2\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/4}\,\int\limits_{z=0}^1 \underbrace{zr}_{f(r;\varphi;z)}\cdot\underbrace{r\,dr\,d\varphi\,dz}_{=dV}=\int\limits_{r=1}^2r^2\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/4}d\varphi\int\limits_{z=0}^1z\,dz$$

Jetzt erkennst du auch sehr schön, dass das Dreifachintegal in ein Produkt aus drei einfachen Integralen zerfällt und dass die Integrations-Reihenfolge irrelevant ist:

$$I=\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=1}^2\cdot\left[\varphi\right]_0^{\pi/4}\cdot\left[\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^1=\left(\frac83-\frac13\right)\cdot\left(\frac\pi4-0\right)\cdot\left(\frac12-0\right)=\frac{7}{24}\,\pi$$

Answer 2

Hallo

solange  die Grenzen feste Zahlen sind r, phi, theta nicht voneinander abhängen ist das egal, meist bietet es sich an, erst über die Winkel zu integrieren, da das die einfachsten Integrale sind.

(wenn man nix weiss könnte man ja mal 2 oder 3 verschiedene Reihenfolgen ausprobieren?)

Gruß lul

Comments

Aber bekomme irgendwie ein anderes Ergebnis raus. Ich muss doch einfach die Formel mit den 3 Grenzen integrieren oder?

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ja, aber das wurde dir ja durch T.. erspart.

lul