E-Funktion Gleichung auflösen

Question

Aufgabe:

Wie löst man die folgende Aufgabe?:

15. Lösen Sie nach x auf:

\(e^x+e^{-x}=2c\quad\), c größer gleich 1

Ich habe keinen Ansatz gefunden

Comments

Hab mich verlesen.........................

Answer 1

Aloha :)

$$e^x+e^{-x}=2c\implies\frac{e^x+e^{-x}}{2}=c\implies\cosh(x)=c\implies x=\pm\operatorname{arccosh}(c)$$Die Funktion \(\operatorname{arccosh}(x)\) findest du auf jedem Taschenrechner ;)

Das Plusminus-Zeichen kommt daher, dass die \(\cosh\)-Funktion gerade ist, das heißt:$$\cosh(-x)=\cosh(x)$$Der Taschenrechner liefert aber immer nur das positive Ergebnis.

Comments

Wo hast du -x her? -x steht doch nur im Exponenten.

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Ups, verlesen. Ich dachte das \( x \) wird abgezogen. Sorry

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\(\implies x=\operatorname{arccosh}(c)\)

Wenn \(x\in\mathbb R\) eine Lösung von \(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}=2c\) ist, ist dann nicht auch \(-x\) eine solche?

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Ja es gibt zwei Lösungen

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Ja natürlich, auch die \(\cosh\)-Funktion ist gerade, das schreibe ich oben noch dazu...

Answer 2

Du kannst auch \( z=e^x \) substituieren und kommst auf eine quadratische Gleichung. Die lösen und rücksubstituieren.

Du bekommst dann als Lösung $$ z_{1,2} = c \pm \sqrt{c^2-1} $$

und \( x = \ln(c \pm \sqrt{c^2-1} )\)

Und daran erkennt man auch, das \( c > 1  \) gelten muss, wenn man reelle Lösungen haben möchte.