E-Funktion Gleichung auflösen

Question

Aufgabe:

Wie löst man die folgende Aufgabe?:

15. Lösen Sie nach x auf:

$e^x+e^{-x}=2c\quad$, c größer gleich 1

Ich habe keinen Ansatz gefunden

Comments

Hab mich verlesen.........................

Answer 1

Aloha :)

$$e^x+e^{-x}=2c\implies\frac{e^x+e^{-x}}{2}=c\implies\cosh(x)=c\implies x=\pm\operatorname{arccosh}(c)$$Die Funktion $\operatorname{arccosh}(x)$ findest du auf jedem Taschenrechner ;)

Das Plusminus-Zeichen kommt daher, dass die $\cosh$-Funktion gerade ist, das heißt:$$\cosh(-x)=\cosh(x)$$Der Taschenrechner liefert aber immer nur das positive Ergebnis.

Comments

Wo hast du -x her? -x steht doch nur im Exponenten.

---

Ups, verlesen. Ich dachte das $x$ wird abgezogen. Sorry

---

$\implies x=\operatorname{arccosh}(c)$

Wenn $x\in\mathbb R$ eine Lösung von $\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}=2c$ ist, ist dann nicht auch $-x$ eine solche?

---

Ja es gibt zwei Lösungen

---

Ja natürlich, auch die $\cosh$-Funktion ist gerade, das schreibe ich oben noch dazu...

Answer 2

Du kannst auch $z=e^x$ substituieren und kommst auf eine quadratische Gleichung. Die lösen und rücksubstituieren.

Du bekommst dann als Lösung $$z_{1,2} = c \pm \sqrt{c^2-1}$$

und $x = \ln(c \pm \sqrt{c^2-1} )$

Und daran erkennt man auch, das $c > 1$ gelten muss, wenn man reelle Lösungen haben möchte.