Entwickeln von folgender Funktion f(x) in eine Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Entwickeln Sie die folgende Funktion \( f(x) \) in eine Potenzreihe:
\( f(x)=\int \limits_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}} d t \)

Problem/Ansatz:

Wie würde das konkret aussehen können?

Answer 1

\(f(x)\) ist eine Stammfunktion von \(g(x)=x^2e^{-x^2}\). Um eine Potenzreihen-

entwicklung von \(f(x)\) zu erhalten, integriert man eine Potenzreihen-Entwicklung

von \(g(x)\) gliedweise:$$g(x)=x^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+2}$$also$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+3)n!}x^{2n+3}$$

Answer 2

MacLaurinsche Form der Potenzreihenentwicklung:

\( f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{f^n(0)}{n!} x^n } \)

\( f(x)= \int \limits_{0}^{x} t^{2} e^{-t^{2}} d t = 1/4 (\sqrt{π} * erf(x) - 2 x e^{-x^2} ), f(0) = 0 \)

\( f^1(x) = 2 x e^{-x^2}, f^1(0) = 0 \)

\( f^2(x) = -2 x e^{-x^2}(x^2 - 1), f^2(0) = 0\) (alle geraden Ableitungen ergeben 0)

\( f^3(x) = 2 e^{-x^2}  (2 x^4 - 5 x^2 + 1), f^3(0) = 2 \)

\( f^5(x) = 4 e^{-x^2} (4 x^6 - 28 x^4 + 39 x^2 - 6), f^5(0) = -24 \)

\( f^7(x) = 8 e^{-x^2} (8 x^8 - 108 x^6 + 390 x^4 - 375 x^2 + 45), f^7(0) = 360 \)

usw. (habe auf die Schnelle keine allgemeingültige Formel gefunden), somit

f(x) = \( \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{14} ... \)