Bestimme die Nullstellen mit Ausklammern

Question

Aufgabe: Bestimme die Nullstellen mit Ausklammern

f(x)=x⁴−5x²+4

Lösung muss sein:
2; -2; 1; -1


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe mit Rücksubstitution zu Lösen.
(ohne Taschenrechner)

ich habe x^2 = u gesetzt und
u1/u2 = Mitternachtsformel

5 +/- Wurzel aus (Undefiniert) / 2 

Ich glaube langsam dass die Aufgabe falsch gestellt ist. wenn die Aufgabe
f(x)=x⁴+5x²+4 lauten würde; bekomme ich die richtigen Ergebnisse.

-5 +/- Wurzel aus 9 (also 3) / 2 

Comments

wenn die Aufgabe
f(x)=x4+5x2+4 lauten würde; bekomme ich die richtigen Ergebnisse.

Das wundert mich doch sehr:

\(x^4+5x+4=(x^2+1)(x^2+4)\)

Der erste Faktor ist >= 1, der 2-te sogar >=4. Wie soll da 0 herauskommen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=x^4-5x^2+4$$

Suche 2 Zahlen mit der Summe \((-5)\) und dem Produkt \((+4)\). Das wären \((-1)\) und \((-4)\)

$$f(x)=(x^2-1)\cdot(x^2-4)$$

Nutze die dritte binomische Formel zum Faktorisieren:$$f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

Nun kannst du vier Nullstellen ablesen:\(\quad x=\pm1\;;\;x=\pm2\).

Comments

Dankeschön o/

Answer 2

\(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=0\), also

\(x^2-1=0\) oder \(x^2-4=0\), also \(x^2=1\) oder \(x^2=4\), d.h.

\(x=\pm 1\) oder \(x=\pm 2\).

Der Sinn der Sache war ja, nicht! die pq-Formel zu verwenden.

Comments

Wie müsste die Aufgabe aussehen damit ich die mit PQ / Mitternachtsformel lösen kann?

Den Lösungsweg habe ich nämlich so noch nie gesehen. Jetzt wo ichs gesehen habe, machts natürlich weitaus mehr sinn! Aber muss man erstmal drauf kommen hihi

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das hier habe ich gefunden, als Schema.

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Du kannst ja nach Substitution \(u=x^2\) jede solche

Aufgabe mit der pq-Formel bearbeiten. Nur ist das in manchen

Fällen - so wie hier - nicht besonders elegant.

Die Aufgabenstellung spricht ja auch davon, man solle

die Sache mit "Ausklammern" angehen.

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Dankeschön! o/

Answer 3

x^4-5x^2+4

Vieta:

(x^2-4)(x-1)=0

x^2-4 =0

x= ±2

oder:

x-1= 0

x= 1

Comments

Ein Quadrat vergessen?

Answer 4

Hallo,

0=x^4−5x^2+4

0=x^4−1x^2-4x^2+4

0=x^2(x^2−1)-4(x^2-1)

0=(x^2-4)(x^2-1)

Nun die Klammern jeweils gleich Null setzen.

Fertig.

:-)

Answer 5

ich habe x2 = u gesetzt und
u1/u2 = Mitternachtsformel

5 +/- Wurzel aus (Undefiniert) / 2

Schon falsch.

Versuche 2,5 +/- Wurzel...

Answer 6

Bestimme die Nullstellen durch Ausklammern. $$f(x)=x^4−5x^2+4$$

Okay, dann zeigen wir auch noch die vollständige Faktorisierung nur durch Ausklammern:
$$\begin{aligned} f(x)&=x^4-5x^2+4\\      &=x^4-x^2-4x^2+4\\    &=x^2\cdot\left(x^2-1\right)-4\cdot\left(x^2-1\right)\\      &=\left(x^2-4\right)\cdot\left(x^2-1\right)\\      &=\left(x^2+2x-2x-4\right)\cdot\left(x^2+x-x-1\right)\\    &=\left(x\cdot\left(x+2\right)-2\cdot\left(x+2\right)\right)\cdot\left(x\cdot\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)\\      &=\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)\\ \end{aligned}$$ Es geht also auch ohne pq-Formel, abc-Formel, binomische Formeln, Satz von Viéta, Nullstellenraten, Polynomdivision usw. Insgesamt wurde, wenn ich richtig gezählt habe, neun mal ausgeklammert, manchmal vorbereitet durch die passende Zerlegung eines Monoms.

Answer 7

Lösungsweg, wenn Ausklammern nicht vorgegeben ist:

\(f(x)=x^4-5x^2+4\)

\(x^4-5x^2+4=0\)

\(x^4-5x^2=-4\)

\((x^2-2,5)^2=-4+6,25=2,25|\sqrt{~~}\)

1.)  \(x^2=4\)

\(x₁=2    ∨   x₂=-2\)

2.)  \(x^2=1\)

\(x₃=1   ∨   x₄=-1\)