Beweis von e^(x+y) = e^x * e^y

Question

Aufgabe:

Beweise:

Für x, y ∈ R gilt e^(x+y) =  e^x * e^y (das x+y ist beides die Potenz e hoch x +y)

Problem/Ansatz:

Heyy, kann mir jemand bei diesem Beweis weiterhelfen?:)
MFG

Answer 1

Beweis mit Potenzreihen:$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x+y)^n}{n!}=\sum_n\frac{\sum_{j=0}^n{n \choose j}x^jy^{n-j}}{n!}=\sum_n\frac{\sum_{j,k\geq 0, j+k=n}\frac{n!}{j!k!}x^j y^k}{n!}=\\=\sum_n\sum_{j+k=n}(\frac{x^j}{j!})(\frac{y^k}{k!})=(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!})\cdot(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^k}{k!})$$

Comments

(Beim letzten Gleichheitszeichen [@Fragesteller: siehe https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel] verwandelt sich versehentlich ein y in ein x)

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Danke! Habe die Mutation nicht mitbekommen ;-)
Ist berichtigt.

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Warum muss man hier mir Kanonen auf Spatzen schießen?

Was für a^x*a^y gilt, gilt für jede reelle Zahl. Sinn?

Ich wünsche KEINE Antwort von hj... und abakus!

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Natürlich kann man die Sache bei positivem a

und ganzzahligen Exponenten leicht einsehen.

Etwas komplizierter wird es für rationale Exponenten.

Schließlich kann man a^x durch einen Grenzprozess

definieren, so dass x->a^x stetig ist. Da Q dicht in R

liegt, übertragen sich dann alle Regeln mit

rationalen Exponenten auch auf beliebige reelle Exponenten.

Es geht darum, im Falle a=e einen solchen oder

einen gleichwertigen Beweis explizit zu führen.

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Danke für die Erklärung.

Diese Dinge sind nicht meins. Es ist für mich Mathe vom Trockensten alles Trockenen.

Sorry, ist halt so für mich.

Wo ich keinen Sinn sehe, steige ich aus.

Unnützer zusätzlicher "Gehirnmüll",der den Blick für schöne Dinge trüben kann.

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Wo ich keinen Sinn sehe, steige ich aus.

Wenn Du es dabei doch dabei belassen würdest. Du musst doch nicht auch noch die Tür zuknallen.

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Die Tür ist hier offen für alle Fragen?

Was soll das?

Ich gönne es jedem, sich mit für mich ödester Mathe zu beschäftigen.

Ab und zu kommt ja auch Sinn zu Vorschein, wenn Leute wir ermanus erklären

und nicht Typen, deren Namen ich nicht mehr aussprechen möchte.

Answer 2

Schau einfach mal unter

https://www.youtube.com/watch?v=6pJzy2iAFRY

Etwas mathemathischer mit vollständiger Induktion unter

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Potenz#Produkt_von_Potenzen_mit_gleicher_Basis

Comments

Man kann ja so allerlei mit Induktion nachweisen, aber dazu gehört ganz gewiss nicht die zu beweisende Aussage.

Bilde die Ableitung der Funktion f mit f(x) = e^(x+y) / e^x und ermittle ihren Wert für x=0.

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f(x) = e^(x + y)/e^x = (e^x * e^y)/e^x = e^y

f'(x) = 0

man könnte auch Quotientenregel benutzen ohne e^(x + y zu vereinfachen.

f(x) = e^(x + y)/e^x

f'(x) = (e^(x + y) * e^x - e^(x + y) * e^x)/(e^x * e^x) = 0

ABER: Es ging zunächst mal bei den Potenzgesetzen um ganzzahlige Exponenten. Dort hat man rekursiv definiert:

a^0 = 1
a^{n + 1} = a * a^n für a ≠ 0 oder mit 0^0 per Definition als 1.

Hat dort die Ableitung an einer bestimmten Stelle überhaupt irgendeine Bedeutung? Wenn man jetzt also auf eine Ableitung von 0 kommt, sagt das doch noch nichts aus.

Wo mache ich dort einen Denkfehler?

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Und mit deiner Induktionsmethode folgt dann, dass 5^x für alle x∈ℝ ganzzahlig ist - oder wie ?

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Hast du nicht gelesen, dass sich die Herleitung erstmal nur auf alle natürlichen Exponenten bezieht.

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Hast du nicht gelesen , dass die Aufgabe einen Beweis   Für x, y ∈ R verlangt ?