Die Cauchy–Schwarz–Ungleichung besagt
\( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k}^2 * \sum\limits_{k=1}^{n}{b_k}^2 >= (\sum\limits_{k=1}^{n}{a_k*b_k})^2 \)
Setzt man
\( a_k^2 = f(a+\frac{k(b-a)}{n})*\frac{b-a}{n} \)
\( b_k^2 = 1/f(a+\frac{k(b-a)}{n})*\frac{b-a}{n} \)
dann folgt
(I) \( a_k*b_k = \frac{b-a}{n} \)
(II) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k}^2 * \sum\limits_{k=1}^{n}{b_k}^2 >= (\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{b-a}{n} )^2 = (b-a)^2 \)
Für \( n → ∞ \) entspricht (II) folgendem Ausdruck:
\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx * \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx >= (b-a)^2 \)
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Es gibt eine andere Abschätzung, die sich leichter beweisen lässt:
Sei
\( min <= f(x) <= max \), x € [a,b], min > 0, max > 0
daraus folgt
\( \frac{1}{max} <= \frac{1}{f(x)} <= \frac{1}{min} \)
weiter gilt
\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx >= min * (b-a) \)
\( \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx >= \frac{1}{max} * (b-a) \)
daraus folgt
\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx * \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx >= \frac{min}{max}(b-a)^2 \)
und umgekehrt gilt
\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx * \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{f(x)}dx <= \frac{max}{min}(b-a)^2 \)
