Bestimmen Sie die Additionstabelle von K.

Question

Aufgabe:Sei f = x3 + x + 1 ∈ Z2[x] und K = Z2[x]/(f · Z2[x]).

 • Zeigen Sie, dass K ein Körper ist.
• Bestimmen Sie die Additionstabelle von K.
• Bestimmen Sie die Multiplikationstabelle von K.

kann jemand damit helfen

Answer 1

In https://www.mathelounge.de/953163/sei-f-x3-x-1-2-x-und-k-2-x-f-2-x#c953212

zeige ich, dass \(K\) ein Körper ist mit

\(K=\{a+b\alpha+c\alpha^2: \; a,b,c\in Z_2\}\),

wobei \(\alpha\) die Restklasse von \(x\) modulo \(x^3+x+1\) ist.

\(K\) enthält also \(2\cdot 2\cdot 2=8\) Elemente.

Klar ist \((a_1+b_1\alpha+c_1\alpha^2)+(a_2+b_2\alpha+c_2\alpha^2)=\)

\((a_1+a_2)+(b_1+b_2)\alpha+(c_1+c_2)\alpha^2\).

Damit dürfte die Additionstabelle kein Problem mehr sein.

Für die Multiplikationstabelle ist z.B. Folgendes nützlich:

Wenn du \(\beta=\alpha+1\) setzt, kannst du leicht sehen,

dass \(K^*=\{\beta^n: \; 1 \leq n\leq 7\}\) ist.