Zeigen, dass die quadratische Form nicht äquivalent zu einer Diagonalform sein kann

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper der Charakteristik 2 (das heißt \( 2=1+1=0 \) in \( K \) ). Zeigen Sie, dass die quadratische Form

\( q: K^{2} \rightarrow K,\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto x_{1} x_{2} \)

nicht äquivalent zu einer Diagonalform

\( [a, b]: K^{2} \rightarrow K,\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto a x_{1}^{2}+b x_{2}^{2} \)

mit \( a, b \in K \) sein kann.

Problem/Ansatz:

Wie Zeige ich das am besten? Vielen Dank im Voraus!

Comments

du hast ja nur auszuprobieren x1=1 oder 0 dasselbe für x2

lul

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Das verstehe ich nicht. Ein Körper der Charakteristik 2
kann unendlich viele Elemente enthalten.

Answer 1

Sei$$x_1=a_{11}y_1+a_{12}y_2,\; \; x_2=a_{21}y_1+a_{22}y_2$$eine lineare Koordinatentransformation mit$$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0.$$Dann ist wegen Charakteristik 2:$$ax_1^2+bx_2^2=a(a_{11}^2y_1^2+a_{12}^2y_2^2)+b(a_{21}^2y_1^2+a_{22}^2y_2^2)=\\=(aa_{11}^2+ba_{21}^2)y_1^2+(aa_{12}^2+ba_{22}^2)y_2^2$$Offensichtlich kann man so keinen Term \(y_1y_2\) erzeugen.