Bestimmung der Parameter der Cos Funktion

Question

Aufgabe:

Ermittle anhand der Zeichnung die Kosinusfunktion der Form a*cos(b*x+c)+d

Die orangene und graue Kurve konnte ich richtig lösen. Die Lösung der violetten Kurve ist für mich offen. In den Lösungen hinten steht: Lila: cos(0.5x+1). Die Lösungen im Buch waren des öfteren falsch. Meine Lösung wäre: cos((4/15)*x+(π/2)) b habe ich berechnet in dem ich 2π durch die Periodenlänge geteilt habe. Die Periodenlänge liegt hier bei 7,5 π. +(π/2) auf Grund der Verschiebung nach links. Müssten ungefähr π/2 sein, auch wenn man es so nicht hunderprozentig erkennen kann. Habe ich hier einen Fehler oder der Autor?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=a\cdot\cos(k\cdot x+\varphi)+d$$Die Wellenlänlge $\lambda$ der violetten Kurve kannst du aus den Nulldurchgängen in der Nähe von $x_1\approx\frac{-3\pi}{2}$ und $x_2\approx\frac{5\pi}{2}$ bestimmen:$$\lambda=\frac{5\pi}{2}-\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{8\pi}{2}=4\pi$$Daher ist die Wellenzahl (=Anzahl der Wellen über der Länge $2\pi$):$$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac12$$

Die Kurve ist nicht in $y$-Richtung verschoben, sodass $d=0$ gilt.

Minimum ist $(-1)$ und Maximum ist $(+1)$, also ist der Skalierungsfaktor $a=1$ klar.

Beim Ablesen der Phase $\varphi$ tue ich mich etwas schwer. Ich würde sagen, der Nulldurchgang liegt in etwa bei $\frac34\cdot\frac\pi2=\frac{3\pi}{8}\approx1$. Daher könnte die Phase $\varphi=1$ aus der Lösung hinkommen.

Zusammengebaut heißt das:$$f(x)=\cos\left(\frac12\,x+1\right)$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = cos(x/2+1)Zoom: x(-6,283185307179586…6,283185307179586) y(-2…2)

Comments

Wo habe ich dann den Fehler in der Berechnung von b? Im Buch steht b= 2π/periodenlänge

Die Periodenlänge beträgt ja hier 8π wie abakus gesagt hat

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Die Periodenlänge beträgt ja hier 8π wie abakus gesagt hat

Dann kannst du nicht lesen. Abakus sagte:

Das stimmt allerdings nicht, denn die Periodenlänge ist (einigermaßen ablesbar) nur 4π

Also:

b = 2·pi/(4·pi) = 1/2

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achso.danke!

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Die Wellenlänge ist $\lambda=4\pi$.

Daraus folgt dann die Wellenzahl $b=k=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac12$.

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Hatte einen Fehler drinne. Danke für die nettere Antwort ,)

Answer 2

Die Periodenlänge liegt hier bei 7,5 π. +(π/2)

Das wären übrigens 8π.

Das stimmt allerdings nicht, denn die Periodenlänge ist (einigermaßen ablesbar) nur 4π (oder $\frac{8π}{2}$).

Comments

Verschiebst du die Kurve leicht nach rechts, kann man die Periodenlänge ablesen. Das Intervall ist: (-3π/2);(5π/2)

Also von -270 Grad bis 900 Grad. Sind 1170 Grad Intervalllänge bzw. 3,25 *2π bzw. 6,5. Hab einen Fehler ich korrigiere zu cos((4/13)*x+π/2) Oder habe ich da was falsch gemacht bei der Herleitung von b?

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Die + π/2 bezogen sich auf c, die Verschiebung auf der x achse. Also nicht bezüglich b.

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Verschiebst du die Kurve leicht nach rechts, kann man die Periodenlänge ablesen. Das Intervall ist: (-3π/2);(5π/2)

Der Abstand dieser beiden Intervallgrenzen ist (8/2)π!.

Deine Umrechnung in Grad war überflüssig. Und wenn du sie doch machst: (5π/2) sind nicht 900°, sondern 450°.

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Ach, da habe ich einen Fehler. Ja die war evt Überflüssig, diente mir aber zur Veranschaulichung. Also lautet die Funktion: cos(0.25x+(π/2))?

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0,25 ist falsch.

Im übrigen hast du ja eine Lehrbuchlösung...

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Das Lehrbuch war leider öfters fehlerhaft. b wird ja mit Hilfe der Periodenlänge berechnet. Die beträgt hier ja 8π. Berechnung von b: (2π)/periodenlänge

(2π/8π) = b

= 0,25

cos(b*x+c)

cos(0.25x+ (π/2))

Answer 3

Vielleicht kannst du es hier besser sehen

f3(x) = 1·COS(1/2·(x + pi/2 + pi/8)) + 0 = 1·COS(1/2·x + 5/16·pi) + 0

5/16·pi = 0.9817 ≈ 1

Und daher könnte man vermuten das es 1 sein soll. Ablesen kann man das aber nicht wirklich.