Stammfunktion bei einem Bruch: ((2x+1)^2)/x

Question

ich verstehe nicht wie man die Stammfunktion folgender Funktion ermittelt:

((2x+1)²)/x

Über hilfreiche Antworten würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Hi,

substituiere \(2x+1\) = u und damit \(du = 2\; dx\)

$$\int \frac{u^2}{u-1}\; du $$

Polynomdivision ergibt:

$$\int u+1+\frac{1}{u-1} \; du = \frac12u^2+u+\ln(u-1) + c$$

Nun Resubstitution:

$$2x^2+4x+\frac32+\ln(2x)+c$$

(Eventuell kann man auch \(\ln(2x) = \ln(2)+\ln(x)\) schreiben und die konstanten Werte in c reinziehen)

$$\to 2x^2+4x+\ln(x)+d$$


Grüße

Answer 2

Bruch vereinfachen / umformen

((2x+1)²)/x     |binomische Formel

= (4x^2 + 4x + 1)/x       | Summe von Brüchen

= 4x^2/x + 4x/x + 1/x      |kürzen

= 4x + 4 + 1/x

∫ (4x + 4 + 1/x) dx

= 4/2 x^2 + 4x + ln|x| + C

= 2x^2 + 4x + ln|x| + C