Hallo Leute ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Betrachten Sie folgenden Endomorphismus
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), gegeben durch die Vorschrift
\( \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} -x_{2}-2 x_{3} \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+3 x_{3} \end{array}\right) \)
Folgende drei Vektoren sind für diese lineare Abbildung \( f \) Eigenvektoren:
\( \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( D M(f) \).
(b) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix \( T \) mit zugehöriger Inverse \( T^{-1} \) und eine Diagonalmatrix \( D \), sodass \( T^{-1} D M(f) T=D \) gilt.
Ich habe ein Teil schon bearbeitet:
Die darstellende Matrix lässt sich ja einfach ablesen. Das ist ja in dem Fall:
\( D M(f)=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right) . \)
Doch ich komme nicht wirklich bei der b weiter. In den Lösungen steht:
(b) Die angegebenen Vektoren erfüllen
\( f\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} f\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) \\ f\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \end{array} \)
damit sind sie Eigenvektoren zu den Eigenwerten 1,2 und 3. Damit erfüllen die Matrizen
\( \begin{array}{c} D=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right), \\ T=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right), \\ T^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc} 6 & 0 & 6 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right) \end{array} \)
die Gleichung \( T^{-1} D M(f) T=D \).
Da ich hätte ich Fragen, wie genau konnte man damit die Eigenwerte ablesen. Beim T hoch -1 muss man die Inverse bestimmen.
