Mathematischer Style Polynomdivision oder Faktorisierung

Question

Hallo Leute,

das ist eher eine ungewöhnliche Frage. Wie ihr wisst, gibt es mehrere Möglichkeiten beziehungsweise ich nenne das mathematischer Style, um ein Problem zu lösen. Ich habe hier eine Beispielaufgabe, wo ich das besser veranschaulichen möchte :

$$-x^3+5 x^2-8 x+4$$ $$-x^3+x^2+4 x^2-4 x-4 x+4$$ $$-x^2 \times(x-1)+4 x \times(x-1)-4(x-1)$$ $$-(x-1) \times\left(x^2-4 x+4\right)$$ $$-(x-1) \times(x-2)^2$$

Wenn man jetzt die Nullstellen davon berechnen wollen würde, da wäre das mit dieser Methode deutlich einfacher, anstatt dies mit der Polynomdivision zu machen. Aber ich habe keine Ahnung, wie man die Methode nennt. Es ist eine Art der Faktorisierung, aber das Internet liefert mir keine zufriedenstellende Antwort. Ich würde gerne lernen, wie das funktioniert und ob es bei anderen Polynomgleichungen auch funktioniert.

Comments

Das ist Polynomdivision, nur grafisch anders notiert.

Answer 1

Das Verfahren nennt sich Faktorisieren über geschickte Aufteilung/Ergänzung und Ausklammern.

Ob das jetzt wesentlich einfacher ist als z.B. die Polynomdivision oder das alternative Horner Schema. Gerade die Suche nach einer geschickten Aufteilung/Ergänzung fällt, den meisten ja nicht einfach so in den Schoss.

- x^3 + 5·x^2 - 8·x + 4 = - (x^3 - 5·x^2 + 8·x - 4) = 0

ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler der 4 sein. Da kommen nicht so viele Zahlen in Frage und mit 1 und 2 ist man schon dabei.

(x^3 - 5·x^2 + 8·x - 4) / (x - 1) = x^2 - 4·x + 4 = (x - 2)^2

Dann wäre man jetzt auch schon mit der Faktorisierung über die Polynomdivision durch

- x^3 + 5·x^2 - 8·x + 4 = - (x - 1)·(x - 2)^2

Comments

>ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler der 3 sein. Da kommen nicht so viele Zahlen in Frage und mit 1 und 2 ist man schon dabei.< ?

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>ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler der 3 sein. Da kommen nicht so viele Zahlen in Frage und mit 1 und 2 ist man schon dabei.< ?

Das sollte natürlich 4 statt 3 lauten. Danke für den Hinweis.

Answer 2

Gelöscht wegen angeblicher vorsätzlicher Irreführung und Mißbrauch des Forums.

Comments

Eine Möglichkeit, um ein Nullstellen-Problem zu lösen:

Nein, nicht ein allgemeines, sondern nur dieses spezielle, wo die Methode zufällig klappt. Die Nicht-Erwähnung dieser Einschränkung ist eine der schon erwähnten didaktischen Fahrlässigkeiten.

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Lass doch diesen Unfug einfach mal sein. Das ist kein Verfahren zur Nullstellenbestimmung, da es hier einfach zufällig nun eine mehrfache Nullstelle gibt. Das weiß man aber in der Regel vorher nicht und es ist auch nur selten der tatsächlich der Fall, weshalb diese Vorgehensweise unnötig beziehungsweise nicht zu empfehlen ist, da sie keine Nullstellen garantiert.

Außerdem war das Anliegen dieser Frage, die Nullstellen nach Möglichkeit ohne Polynomdivision zu bestimmen, sofern es da eine Möglichkeit gibt.

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Lass doch diesen Unfug einfach mal sein.

Ich hatte schon mal aufgeführt, wo sich dieses Verfahren nun wirklich bewährt: bei den Kurvendiskussionen. Da steht am Anfang die Suche nach Nullstellen. Diese kann sich recht hinziehend gestalten. Danach Extrempunkte : Ergibt sich hier nun hier ein Extrempunkt auf der x-Achse, so fällt die Nullstellensuche einfach aus. Ich erwähne deshalb das Verfahren, damit bei der Nullstellensuche nicht viel Zeit verlorengeht (Vorteil bei Klassenarbeiten...)

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wo sich dieses Verfahren nun wirklich bewährt: bei den Kurvendiskussionen.

Eben nicht, wenn keine doppelte Nullstelle vorhanden ist. Die nächste didaktische Fahrlässigkeit.

damit bei der Nullstellensuche nicht viel Zeit verlorengeht

Mit Deiner Methode passiert genau das Gegenteil - es geht viel Zeit verloren. Du bist schon mehrfach darauf hingewiesen worden. Das ist dann keine didaktische Fahrlässigkeit, sondern vorsätzliche Irreführung. Lass es einfach.

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Du verstehst mich nicht oder willst mich nicht verstehen...

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Du verstehst mich nicht oder willst mich nicht verstehen...

Deine Beiträge hier sind mehrheitlich überflüssig.

Verstehst du das nicht oder willst du das nicht verstehen?

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Ich erwähne deshalb das Verfahren, damit bei der Nullstellensuche nicht viel Zeit verlorengeht (Vorteil bei Klassenarbeiten...)

Es ist einfach kein Verfahren zur Nullstellenbestimmung, sondern didaktischer Unfug. Darüber hinaus erwähnst du ja nicht einmal die Voraussetzungen. Das tust du erst - wie so oft - wenn man dich auf diesen Unfug hinweist. Dann versucht man, das krampfhaft zu rechtfertigen.

Man kann sich Arbeit ersparen, wenn man bei einer Kurvendiskussion mit den Extrempunkten anfängt und dann feststellt, dass einer davon auf der \(x\)-Achse liegt. Mehr aber auch nicht. Das Ganze dann als "allgemeingültiges Verfahren" anzupreisen, halte ich für sehr gefährlich. Zumal du es dann nicht einmal sinnvoll/vollständig erläuterst.

Verstehst du das nicht oder willst du das nicht verstehen?

Für mich ist das mittlerweile nur noch pure Ignoranz, Selbstdarstellung und Nutzung der Plattform für eigene Übungszwecke (hat er ja an irgendeiner Stelle schon einmal zugegeben). Mit ernsthafter Hilfe hat das leider nicht mehr viel zu tun (aber das ist ja auch nicht die Absicht der Plattform, wie schon mehrfach gesagt wurde) zum Leid derer, die irgendwann wirklich mal auf diese Beiträge stoßen und sich daran Böses abgucken... didaktisch fahrlässig eben.

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Aus meiner Sicht ist moliets' Motiv nicht Selbstdarstellung (was ihn von manch anderen hier unterscheidet). Er missbraucht das Forum aus anderen Gründen (s.o.).

Ansonsten schließe ich mich apfelmännchens Ausführungen an.

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Gelöscht wegen angeblicher vorsätzlicher Irreführung und Mißbrauch des Forums.

Das ist doch schon mal ein lobenswerte Anfang.

Nachtrag: Im Forum stehen noch weitere Beiträge von dir.

Answer 3

...ich habe keine Ahnung, wie man die Methode nennt. Es ist eine Art der Faktorisierung,...

Ja, es ist eine "Art der Faktorsierung" und sie hat auch einen eigenen Namen, der mir leider aber nicht mehr einfällt.

(...) Ich würde gerne lernen, wie das funktioniert...

Die Methode beruht auf dem Distributivgesetz, hier also auf dem Ausklammern gemeinsamer Faktoren, und damit sie funktioniert, müssen die auszuklammernden Faktoren zunächst mal sichtbar gemacht werden. Dies lässt sich durch geschicktes Zerlegen einzelner Summanden oder Nulltermergänzungen bewerkstelligen. "Ausklammern" wird andernorts auch "Herausheben" genannt.

...und ob es bei anderen Polynomgleichungen auch funktioniert.

Naja, es ist natürlich günstig, wenn sich das Polynom bereits über \(\mathbb{Z}\) faktorisieren lässt.

Comments

Ja, es ist eine "Art der Faktorsierung" und sie hat auch einen eigenen Namen, der mir leider aber nicht mehr einfällt.

Linearfaktorzerlegung.

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Linearfaktorzerlegung

Nein.

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Ich habe es mal nachgeschaut: Die Methode wird mit "Faktorisieren durch Zerlegen und Gruppieren" bezeichnet. In der deutschen Schulmathematik ist das aber eher nicht so geläufig.