Prüfen ob differenzierbar

Question

Aufgabe:

Gegeben sei f: R^2 -> R^2, f(x,y)= x^2*y/(x^2 + y^4) , falls (x,y) ≠ (0,0) sonst 0.

Prüfe ob f in (0,0) differenzierbar ist

Problem/Ansatz:

Irgendwie komme ich da nicht weiter. Soll ich erstmal die partiellen ableitungen in 0 bestimmen und dann grenzwertuntersuchung?

Comments

Ist es vielleicht f: R² -> R  statt f: R² -> R²   ???

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass \(f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\) gemeint ist.

Bestimme zunächst die beiden partiellen Ableitungen

\(\partial_x f(0,0)\) und \(\partial_y f(0,0)\). Dann untersuche den Limes$$\lim_{h\to (0,0)} \frac{f((0,0)+h)-f(0,0)-Lh}{\|h\|}\quad (*)$$Im Fall der Diffbarkeit. ist \(Lh=\partial_x f(0,0)h_1+\partial_y(0,0)h_2\) für

\(h=(h_1,h_2)\). Ich habe \(L=0\) heraus.

Nun untersuche den Limes \((*)\), indem du speziell \(h=(t,t)\) betrachtest. Ist er = 0 ?

Existiert er überhaupt ?

Comments

danke für die Antwort. Ja, ich meinte R^2 -> R.

Diesen Ansatz hatte ich tatsächlich auch mit h=(t,t) setzen.

dann bekomme ich ja

\( \frac{t^3}{t^2(t^2 +1 )} \) / (t \( \sqrt{2} \)) oder ?

Kann man das so kürzen, dass da \( \frac{1}{(t^2+1)\sqrt{2}} \) steht ?

Ich habe das Problem wenn ich das in Online Tool mache, sind irgendwie die beidseitigen grenzwerte untershiedlich bzw diese eigenschaft bei meinen Umformungen verloiren geht.

Aber falls meine Umformungen richtig ist, hätte ich ja für t -> 0 etwas, was ungleich 0 ist und somit wäre es nicht db?

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Ja, das hast du alles richtig gesehen. In der Tat ist der

spezielle Limes nicht 0, wie du erkannt hast, f also

nicht diffbar.