Wie findet man die kleinste natürliche Zahl mit mehr als n Teilern?

Question

Ich sitze gerade an dem Problem, die kleinste natürliche Zahl z mit mehr als n Teilern zu bestimmen.

Die kleinste natürliche Zahl mit genau n Teilern kann man z.B. so finden:

n = 38, 38 = 2 * 19, z = 2^{18} * 3 = 786432

n = 132,   132 = 2 * 2 * 3 * 11,   z = 2^{10} * 3^2 * 5 * 7 ) = 322560

Die Sache wird schwieriger, wenn die kleinste natürliche Zahl mit mehr als n Teilern zu finden.

z.B. mit n = 125, 125 = 5^3, z = 2^4 * 3^4 * 5^4 = 810000 hat 125 Teiler.

Aber 83160 = 2^3 * 3^3 * 5 * 7 * 11 hat 128 Teiler, also mehr als n = 125, ist aber kleiner als 810000.

Comments

Hm ... ich weiß es nicht. Klingt aber interessant. Ich würde erstmal alle Primzahlen ausschließen, die Zahl als gerade deklarieren und behaupten, dass die Zahl größer als deine bisherigen Versuchsergebnisse ist. Das Ganze natürlich den PC erledigen lassen :-) In den Algorithmus könntest du ja alle Teilbarkeitsregeln einarbeiten. 7 ist doof und durch 6 teilbar wäre gut, zum Beispiel ... ;-)

Answer 1

ich habe die Frage hier vor einiger Zeit gesehen und mir ein paar Überlegungen dazu gemacht. Eine fixfertige Antwort habe ich leider noch nicht. Konkret stellte ich mir die Frage nach der kleinsten natürlichen Zahl mit mehr als 1000 Teilern. Ich vermute, dass man diese Zahl erhält, wenn man das Produkt der ersten 10 Primzahlen bildet, also  N = 2*3*5*7*11*13*17*19*23*29 = 6'469'693'230 . Man kann sich leicht klar machen, dass N genau 2¹⁰ = 1024 Teiler besitzt, also mehr als 1000. 

Ich weiß aber (noch) nicht, ob man nach demselben Rezept auch im Allgemeinen durchkommt. Falls ja, könnte man sogar eine ganz einfache Formel für die kleinste Zahl N mit mehr als T Teilern angeben, nämlich:

    $$ N\quad =\quad \prod _{ i=1 }^{ imax }{ { p }_{ i } } $$

wobei $$ imax\ =\ \left \lfloor \frac{ln(T)}{ln(2)}\right \rfloor+1$$ 

Comments

Leider liefert meine angegebene Formel doch nicht unbedingt die kleinste Zahl N mit mehr als T Teilern, sondern nur eine (oft wohl recht gute) obere Schranke für die gesuchte kleinste Zahl.

Nimmt man zum Beispiel T=7 (sucht man also die kleinste Zahl mit mehr als 7 Teilern), so liefert meine Formel die Zahl N = p₁*p₂*p₃ = 2*3*5 = 30 . Tatsächlich hat die Zahl 30 genau 8 Teiler, aber dies trifft auch schon auf die kleinere Zahl 24 = 2³*3¹  zu .

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Das ist eine sehr gute Frage! Das wüsste ich auch gerne

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30 = 2^1 * 3^1 * 5^1 besitzt genau (1+1)*(1+1)*(1+1)=8 Teiler.

24 = 2^3 * 3^1 besitzt genau (3+1)*(1+1)=8 Teiler.

Es gibt also einen Zusammenhang zwischen der Zerlegung einer Zahl in Primpotenzen und ihrer Teileranzahl. Das kann man ausnutzen. Die kleinste Zahl n mit genau t=1001 Teilern etwa bekommt man so:

(1) t = 1001 = 13*11*7 = (12+1)*(10+1)*(6+1)
(2) n = 2^12 * 3^10 * 5^6 = 3779136000000

Andere Möglichkeiten wie etwa

(1') t = 1001 = 143*7 = (142+1)*(6+1)
(2') n = 2^142 * 3^6 = 4064310812432206067544884655190163884464930816

liefern größere Zahlen.

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Die Zahl \(245044800 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17\) hat 1008 Teiler.

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Wie findet man die kleinste natürliche Zahl mit mehr als n Teilern?

Um die kleinste natürliche Zahl zu finden, die mehr als n Teiler hat, sollte man einige wichtige Prinzipien der Zahlentheorie und Primfaktorzerlegung verstehen. Die Anzahl der Teiler \(d(z)\) einer natürlichen Zahl \(z\), die in ihrer Primfaktorzerlegung als \(z = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\) dargestellt werden kann, berechnet sich durch \(d(z) = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1)\).

Für eine Zahl, die mehr als \(n\) Teiler hat, muss also gelten: \((a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1) > n\).

Allgemeine Strategie:
1. Primfaktoren nutzen: Um die kleinste solche Zahl zu finden, wählt man eine effiziente Kombination von Primfaktoren und ihren Potenzen, die zusammen mehr als \(n\) Teiler erzeugen.
2. Kleinste Primzahlen bevorzugen: Beginnen Sie mit den kleinsten Primzahlen und steigern Sie deren Exponenten. Kleinere Primzahlen ergeben eine kleinere Zahl, wenn sie als Basis verwendet werden.
3. Verteilung von Exponenten: Die Exponenten sollten so gewählt werden, dass das Produkt ihrer um 1 erhöhten Werte maximal ist für eine bestimmte Zahl von Teilern.

Detaillierte Erklärung am Beispiel:

1. Zerlegung der Teilerzahl \(n\): Wenn \(n\) eine Primzahl ist, z.B. \(5\), dann kann man mit \(n+1 = 6\) arbeiten, um eine Zahl \(z\) zu finden, deren Teileranzahl direkt über \(n\) liegt.

2. Wählen der Primfaktoren und Exponenten: Für \(n = 125\) bekommen Sie direkt \(125\) Teiler mit \(z = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^4\), wie im Beispiel angegeben, weil \(d(z) = (4+1)(4+1)(4+1) = 125\). Um jedoch eine kleinere Zahl mit mehr als \(125\) Teilern zu finden, muss man die Verteilung der Exponenten ändern.

3. Effizientere Kombination finden: Wie im Beispiel mit \(83160\) angegeben, waren die Exponenten gut verteilt, um eine kleinere Zahl mit \(128\) Teilern zu finden. Die Exponenten müssen nicht unbedingt sehr groß sein; wichtig ist die effiziente Kombination von Exponenten und deren Basis (Primzahlen).

Anwendung der Strategie:
- Für einen gegebenen Wert \(n\), zerlege \(n\) in Faktoren bzw. finde eine Approximation, die leicht höher als \(n\) ist, durch eine Kombination von \((a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots\).
- Starte mit den kleinsten Primzahlen \(2, 3, 5, 7, \ldots\) und erhöhe deren Exponenten so, dass das Produkt ihrer um 1 erhöhten Exponenten gerade über \(n\) liegt.

Auf das Beispiel angewandt:
- Das Beispiel mit \(83160 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\) demonstriert diesen Ansatz. Durch geschickte Wahl der Primzahlen und deren Exponenten entsteht eine Zahl, die kleiner und effizienter ist als der direkte Ansatz mit \(2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^4\).

Zusammengefasst besteht der Schlüssel darin, eine Balance zwischen der Anzahl der verwendeten Primzahlen und der Größe ihrer Exponenten zu finden, um eine möglichst kleine Zahl mit mehr als \(n\) Teilern zu konstruieren. Statt die Exponenten einer kleinen Anzahl von Primzahlen stark zu erhöhen, ist es oft effizienter, mehrere Primzahlen mit moderaten Exponenten zu kombinieren.