Ist f(x)=IxI (Fallunterschied) überall stetig Ja/Nein und warum?

Question

Aufgabe:

1)
Ist f(x)=IxI (Fallunterschied) überall stetig Ja/Nein und warum?
2)

fx=x²-2x+1/x1 ID " stetig forgesetzt werden

Problem/Ansatz:

wir haben in Mathe ein neues Thema nämlich die Stätigkeit angeschnitten und ich verstehe nichteinmal die Aufgaben stellungen.

Comments

Falls es bei (2) $f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x-1}$ heißt: Die Funktion ist an der Stelle $x_0=1$ nicht definiert, aber wegen $f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x-1}=x-1$ vermöge $f(1)\coloneqq0$ stetig fortsetzbar.

Answer 1

Ist f(x)=IxI (Fallunterschied) überall stetig
Ja/Nein und warum?

Für die Funktion x > 0 gilt
f ( x ) = x ( innerhalb stetig )
Für die Funktion x < 0 gilt
f ( x ) =  -1 * x = - x ( innerhalb stetig )

Für die Annäherung an 0 gilt von links
lim x -> 0 (-)  [ -x ] = 0
Für die Annäherung an 0 gilt von rechts
lim x -> 0 (+)  [ x ] = 0

Linker Grenzwert gleich rechter Grenzwert =>
Stetigkeit vorhanden

Comments

Um die Stetigkeit zu sichern, muss "Grenzwert = Funktionswert" gelten.

Answer 2

Zu 1) ohne Fallunterscheidung:

Für beliebige $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ gilt

$|f(x_1)-f(x_2)|=||x_1|-|x_2||\leq |x_1-x_2|$, d.h.

$f$ ist überall stetig ($x_1=x, \; x_2=x_0$) - wähle $\delta = \epsilon$,

ja sogar gleichmäßig stetig.

Answer 3

Allgemeines zur Stetigkeit:

Die Funktion muss in einem Zug zu zeichnen sein ohne den Stift abzusetzen.
Knicke sind möglich (z.B. y = |x| ).
Sprungstellen sind nicht erlaubt.
Achtung bei Funktionen mit Polstellen: Diese sind stetig, weil die Polstellen im Def.bereich ausgeschlossen werden. Es sei denn, der Funktion wird an der Polstelle ein definierter Wert zugewiesen. Dann ist sie nicht stetig.

Liste von Funktionen, die in allen Punkten ihres Definitionsbereichs stetig sind:
  • Polynome und rationale Funktionen,
  • Potenzfunktionen mit reellen Exponenten (y=xⁿ für n ∈ R),
  • die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens,
  • ihre Umkehrfunktionen, die Areafunktionen,
  • alle Exponentialfunktionen (y=a^x für a > 0),
  • deren Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen (zu einer beliebigen Basis a>0)
  • und die Betragsfunktion (y=|x|).