Varianz Rechenregel Erwartungswert

Question

Aufgabe:

E(a² *(X-E(X))²)

Umformung--> = a² *E((X-E(X))²

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf diese Umformung? Vllt durch die Linearität des Erwartungswerts: E(aX+b)= a* E(X) +b

Aber ich weiss leider nicht wie..

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg. Das folgt direkt aus der Linearität des Erwartungswertes.

Anstatt \(E(\cdots)\) schreibe ich \(\left<\cdots\right>\).$$V(aX+b)=\left<\,\pink(aX+b-\left<aX+b\right>\pink)^2\,\right>=\left<\,\pink(aX+b-\green(a\left<X\right>+b\green)\pink)^2\,\right>$$$$\phantom{V(aX+b)}=\left<\,\pink(aX+b-a\left<X\right>-b\pink)^2\,\right>=\left<\,\pink(aX-a\left<X\right>\pink)^2\,\right>$$$$\phantom{V(aX+b)}=\left<\,a^2\pink(X-\left<X\right>\pink)^2\,\right>=a^2\left<\,\pink(X-\left<X\right>\pink)^2\,\right>=a^2\,V(X)$$

Comments

Danke!! Aber wie kommst du auf die letzte Zeile ,dass das a^2 vor dad das E((x-.... geht? Ahhhh die linearität sagt ja: E(aX+b)= a* E(X)+b deswegen das a^2 vorgezogen?

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\(a^2\) ist eine Konstante, die mit \((X-\left<X\right>)^2\) multipliziert wird. Da der Erwartungswert linear ist, kann ich diese Konstante \(a^2\) vor den Erwartungswert ziehen.

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Perfekt danke!!