Suche die modifizierten Integrationsgrenzen für die Berechnung des Umfanges einer Ellipse!

Question

Aufgabe:

Umfang einer Ellipse:

U=Integral von 0 bis 2pi (a^2*cos^2(ß)+b^2*sin^2(ß))^(1/2) dß

Problem/Ansatz:

U=Integral von 0 bis pi/4  8*(a^2*cos^2(ß)+b^2*sin^2(ß))^(1/2)) dß      U=Integral von .............. 8*(a^2*(1*cos^2(pi/4)+b^2/a^2*sin^2(pi/4)))^(1/2) da=Integral von......... 8*(a^2*(1/2+k^2*1/2))^(1/2) da
....und da kenne ich die Integrationsgrenzen für "a" nicht...., k ist eine Konstante, ist b/a
ich kann doch b/a=Konstant setzen, siehe Link die beiden unteren Beispiele, eine Integration jeweils von z

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Vektoren.html
, oder sollte ich mich da irren?

Dankeschön für die Antworten, viele Grüße, Bert Wichmann!

Comments

Für die, welche Schwierigkeiten haben zu folgen, bitte auch die ehemaligen Fragen durchlesen

https://www.mathelounge.de/user/Bert/questions

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.....und hier sind die jeweiligen Endergebnisse meiner Berechnungen zu sehen, ohne Hilfe Eures Portals, leider und das bei schon über 70 Fragestellungen, es wurde nur Kritik geübt, nichts Konstruktives beigesteuert....., aber man soll die Hoffnung ja nicht aufgeben.....!!!!!!!!!!!!!!

http://www.wichmann.dashosting.de/

Menüpunkt "Basteleien"

so viel dazu, meine ehrenwerten Herrschaften!!!!!!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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nicht Wundern auf meiner Website, ich habe Ärger mit ein paar Leuten.......

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Okay, dann lassen Sie es mich versuchen:

Ich bin neu auf dieser Plattform und damit zumindest bezüglich Ihrer Fragen nicht voreingenommen.

Ich muss allerdings zustimmen, dass Ihre Frage und auch Ihr Ergebnis undeutlich/nicht sauber gearbeitet ist (ob das Endergebnis stimmt oder nicht, spielt dabei keine Rolle).

Beispiel 1: "z=x+y*i=a+b*i" von der Website. Das ist sicher keine richtige Aussage, da x und y Variablen und a, b Konstanten sind.

Beispiel 2: "4*|(a^2*cos^2(ß)/2+cos(ß)/2*sin(ß)*a*b*i)|von 0 bis pi/2=|a4+b4*i|" von der Website. a4 und b4 sind Variablen, die nirgendwo definiert werden. Daher ist diese Aussage, wenn auch nicht grundlegend falsch, einfach nichts aussagend.

Das Schöne an der Mathematik ist, dass es eine universelle Sprache ist. Sie halten sich aber in großen Teilen nicht an die Regeln, deswegen sind Ihre Fragen natürlich unverständlich für alle anderen.

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Das mag alles in Ordnung sein, ich möchte bitte nur eine Beurteilung/Hilfestellung der aktuellen Frage hier auf diesem Portal, oder möchten Sie mit mir alle Berechnungen auf meiner Website durchgehen?

A₄=a₄+b₄*i , bei dem von Ihnen gemeinten Beispiel

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ich möchte bitte nur eine Beurteilung/Hilfestellung der aktuellen Frage

dazu muss man die Frage zunächst mal verstehen. Ich lese dort:

Umfang einer Ellipse:$$U=\int\limits_{\beta = 0}^{\pi/4}  8\sqrt{a^{2}\cos^{2}(\beta)+b^{2}\sin^{2}(\beta)}\,\text d\beta \\ U=\int\limits 8\sqrt{a^{2}\left(1\cdot\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)+b^{2}/a^{2}\sin^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}\,\text da \\ \quad = \int 8\sqrt{a^{2}\left(\frac 12+k^{2}\cdot \frac 12\right)}\,\text da$$....und da kenne ich die Integrationsgrenzen für "a" nicht...., k ist eine Konstante, ist b/a
ich kann doch b/a=Konstant setzen

Ist das richtig abgeschrieben?
Falls ja - bei einer Ellipse werden mit \(a\) und \(b\) i.A: die beiden Halbachsen bezeichnet. Wenn das hier auch so sein soll, so kann man darüber nicht intergrieren, weil die sind ja konstant für eine Ellipse.
Btw. in der ersten Zeile müsste es doch \(\int_0^{\color{red} \pi/2} {\color{red}4} \dots \) heißen - man kann eine Ellipse in 4 kongruente Teile zerschneiden, aber nicht in 8.

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Man kann die Ellipse in 8 Teile zerschneiden..., siehe Link ganz unteres Beispiel, |A₁|=|A₂|

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Vektoren.html

ich kann doch a von 0 bis zu einer bestimmten Grenze gehen lassen, da müssten sich dann die Umfänge der Ellipsen für die jeweilige Halbachsenlängen, a, ergeben, bis zu einem Maximalwert für a

das Verhältnis von b/a bzw. a/b bleibt dabei gleich

eine Integration ist also nicht möglich, schade

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Man kann die Ellipse in 8 Teile zerschneiden..., siehe Link ganz unteres Beispiel, |A1|=|A2|

das was da steht verstehe ich nicht!

es geht doch um den Umfang - oder? Dann mache man sich doch mal eine Zeichnung:

https://www.desmos.com/calculator/kgtq6colva

ich glaube nicht, dass die rote Kurve genauso lang ist, wie die blaue.

eine Integration ist also nicht möglich, schade

Eine Integration über \(\beta\) ist möglich.

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a/b bzw b/a ist die Charakteristik der Ellipse, die bleibt doch gleich, ist also konstant

und a wird von 0 bis a immer größer, warum soll dies nicht funktionieren

aber die Fläche ist doch gleich, oder, man kann eine Ellipse also doch in 8 Teile zerschneiden

was ergibt dA/da? A ist die Fläche

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a/b bzw b/a ist die Charakteristik der Ellipse, die bleibt doch gleich, ist also konstant und a wird von 0 bis a immer größer,

\(a\) kann nicht konstant sein und gleichzeitig von \(0\) bis \(a\) immer größer werden. Das gibt keinen Sinn.

aber die Fläche ist doch gleich, oder ...

geht es um die Fläche oder geht es um den Umfang? Oben hast Du 'Umfang' geschrieben.

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a/b, b/a ist die Charakteristik der Ellipse, die bleibt gleich, oder=konstant

habe ich etwa in meinem Link die komplexen Zahlen falsch integriert?

die Fläche ist in meinem Link eine Funktion von a, wenn a/b, b/a konstant ist, differenzieren Sie diese Fläche mal nach a, was ergibt sich dann?

Answer 1

Hallo

ich versuche es noch mal.

richtig ist eine Ellipse wird beschrieben durch x=a*cos(t), Y=b*sin(t), t von 0 bis 2π, ein fester Punkt dieser Ellipse ist dan x1=a*cos(π/4), y=b*sin(π/4) der Abstand dieses Punktes von 0 ist \( \sqrt{a^2*cos^2(π/4)+b^2sin^2(π/4)} \) lasst man jetzt a von 0 bis 2 laufen bekommt man einen immer größeren Abstand von 0. Wenn man alle diese Längen mit da multipliziert und dann aufsummiert , bekommt man eine Fläche, die ich mir nicht wirklich vorstellen kann.

Leider hat das aber mit einer Ellipse nichts mehr zu tun, da man ja nur einen Punkt einer Ellipse für wachsende Achsenlänge a ansieht.

Wenn man wirklich die Fläche unter der Kurve, oder die Bogenlänge bestimmen will muss t (bei dir φ) sich ändern und a fest bleiben.

Du hast dich irgendwie durch die Darstellung komplexer Zahlen mit cos(φ)+ibsin(φ) mit festem Winkel φ dazu verleiten lassen das mit der Parameterdarstellung einer Ellipse, von der man jeden Punkt  mit φ beschreiben kann  zu vergleichen. Aber das besondere an der Ellipse ist eben, dass sich a und b nicht ändern sondern nur φ (bei mir t, weil ich mir das als zeitliche Bewegung vorstelle,

Gruß lul eine der " ehrenwerten Herrschaften"

Ps: über das "ehrenwert" freu ich mich natürlich

Comments

naja, so wie immer, ist schon ok.

einen schönen Abend Euch, Bert Wichmann!

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Schade , dass du auf kein einziges Argument antwortest?

Kannst du dir wenigstens mal \( \sqrt{1/2*x^2+k^2/2} \)

von einem Plotter zeichnen lassen für irgendein k? (x statt a weil das Plotter lieber mögen)

Gruß lul

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ich habe es plotten lassen, kann es nicht interpretieren

in der Gleichung für den Umfang müsste doch eigentlich noch (db/da), k=b/a, stehen, oder, und dies ist für mich konstant

ich sehe ein, das man den Umfang der Ellipse nicht in 8 Teilen berechnen kann, so wie ich vorgegangen bin, sondern nur in 4, aber die Fläche, wie schon oben angemerkt in 8 Teilen, siehe meine Website Integral der komplexen Zahl, was ergibt dA/da, also die Fläche zu der von Ihr abhängigen, einzigen Variablen, eine Differentiation, doch den Umfang, oder?

wenn ich da immer größer werden lasse, die Charakteristik für die Ellipse ist durch db/da=konstant festgelegt, wird sich die Ellipse aufziehen lassen, bildlich

wenn ich den von mir eingeschlagenen Rechenweg fortsetze, muß ich laut Zeichnung den roten und blauen Bereich des Umfanges getrennt berechnen, k=2/8

roter Bereich: delta pi=pi/4, a geht von cos(pi/4)*a bis a=1.34318=delta a delta a in die Gleichung einsetzen, habe 2,63 für den Umfang erhalten...., ist das zu wenig?

blauer Bereich: delta pi=ist der restliche Winkel von pi/4 bis zur y-Achse, delta a=cos(pi/4)*a-0, das Integral müsste also von 0 bis delta a berechnet werden, wieder modifiziertes delta a in die Gleichung einsetzen,

oder?????????

sollte dies nicht funktionieren, bleibt nur die Berechnung des Umfanges über die Fläche, wie oben angesprochen übrig

viele Grüße, Bert Wichmann

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Nach dem plotten solltest du sehen, dass der Ausdruck nichts mit einer Ellipse zu tun hat, du kannst ihn ja selbst nicht interpretieren. Sich Funktionen, die man integrieren will platten zu lassen zeigt doch vielleicht die Missverständnisse die man hat? Das gilt auch für deine Flächenberechnungen.

Gruß lul

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abgeurteilt.........................................................

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Nicht abgeurteilt, sondern der versuch verständliche Missverständnisse zu klären.

Schade, dass du das als "Urteil" auffasst.

Gruß lul

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Habe übrigends den Nachweis erbracht, daß die Flächen B und A gleichgroß sind!

A=B=2,283185

Die Fläche des Dreiecks von P₀[0;0] zu S zu P₈[8;0]=Fläche von P₂[0;2] zu S zu P₀[0;0]

so wie von mir vermutet sind die beiden Teilflächen der Ellipse bis S geteilt durch den Graphen x*1/4 gleichgroß, die Berechnungen mit den komplexen Zahlen stimmte also bis dahin, man kann die Ellipse Flächenmäßig in 8 gleichgroße Teile aufteilen!!!!!!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Bin jetzt fertig mit meinen Berechnungen komme auf eine Gesamtbogenlänge von 34,431333               "Schulmathematik": zum Vergleich- 34,314

kann sein, daß ich einen kleinen Rechenfehler hatte.....

habe den Punkt S, durch den beide Sekanten gehen, die die Flächen A und B einschließen auf die Gerade y=2-1/4x verschoben bzw. die Sekanten (A,B) gedreht auf diese Gerade......., müsste so doch richtig sein......

Die gesamte Flächenberechnung hätte nicht sein gemusst, wollte nur nachweisen, daß die Ellipse in 8 gleichgroße Flächenteile geteilt werden kann....., eigentlich braucht man zur Berechnung der Bogenlänge, wenn man dies weiß, .... die Flächenvoraussetzungen, nur die 3 Sekanten, die die beiden Einzelbögen bzw. den Gesamtbogen eingrenzen......!!!!!!!!!!

Ich hoffe, dies ist so alles richtig!!!!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

richtig ist, dass die 2 Dreiecke gleich sind. Richtig ist auch dass man die 1/4 Ellipse mit einem Strahl von  0 aus unter dem Winkel α mit  tanα=b/a bei dir 2/8  also Gerade y=x/4 in 2 Teile zerlegen kann. Was das mit deiner Integration mit dem komplexen a+ib zu tun hat sehe ich noch nicht. (ich sehe nicht, wie das mit den 2 gleichen Dreiecken zusammenhängt?) Der Grund dass die Flächen gleich sind ist leicht zu sehen, wenn man weiss, dass man den Kreis in 8 Teile durch den Winkel 360/8=45° teilen kann und dann den Kreis im Verhältnis b/a  senkrecht zur x Achse  zur Ellipse staucht.

Dass irgendwelche numerischen Werte etwa übereinstimmen ist leider nie ein Beweis, ein regelmäßiges 100 Eck mit radius 1 hat auch den Umfang 2*3,14159 LE und den Flächeninhalt 3,14159 FE ohne ein Kreis zu sein.

(nebenbei b/a=const heisst mit a wächst auch b, d,h, mit steigendem a wird auch b immer größer, b/a kennzeichnet die Ellipsen in dem Sinn, dass sie alle ähnlich sind, aber natürlich nicht gleich b=1, a=4 und b=2,a=8 haben natürlich seh verschiedenen  Flächeninhalt, welchen davon denkst du ausgerechnet zu haben, wenn du a vergrößerst aber b/a=k?

Gruß lul

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Die komplexe Integration der ganz unten stehenden Aufgabe des Links zu meiner Website ergab:

4* Integral von 0 bis pi/4 z dz=-64+40i=A₁
4* Integral von pi/4 bis pi/2 z dz=64-40i=A₂

Was ist ein regelmäßiges 100 Eck mit dem Radius 1? .....kenne ich nicht!

Du möchtest Beweise, ja, dann gib Dir selbst mal Mühe.....!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Die besten Grüße, Bert Wichmann!

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Habe eine Aufgabe diesbezüglich auf meiner Website komplett eingestellt.

Sollte jemand meinen Fehler in der Berechnung entdecken, wäre ich dankbar...!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Ellipse.html

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Hallo

Wie kommst du zu der Bogenlänge zu einer der Bekannten. was sich sehe ist, dass du durch cos(β) dividierst, aber warum das dann die Bogenlänge ist verstehe ich nicht. (β ist doch soweit Ichs kapiere der Winkel zwischen S1 und S3 deiner Zeichnung,

lul

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richtig, ß ist der Winkel zwischen S3 und S1=Hypotenuse

aus der Hypotenuse wird die Ankathete, die gestreckte Bogenlänge von B1,die wird auch eine Gerade und ist damit die neue Hypotenuse auf S3 - rein hypothetisch

dies kann ich nur machen, weil beide Flächeninhalte gleich groß sind, aber die Bögen in einem unterschiedlichen Winkel zur Hauptsekante, S3, stehen, oder gibt es da einen anderen Ansatz, gibt es nicht!

habe versucht eine entsprechende Verhältnisgleichung aufzustellen zwischen den Einzelsekanten und den Abschnitten, bis Q, der Hauptsekante, und den Bogenlängen,aber auch da dreht man sich letztendlich im Kreis.....

mein Ergebnis ist etwas zu groß, wenn es zu klein wäre hätte ich auch Bedenken gehabt, aber so....

das erste Beispiel, welches ich mit b=2 durchgerechnet habe, stimmte fast genau noch......, ich werde mir einen kleinen Rechenfehler geleistet haben....

habe es mit b=5 noch einmal durchgerechnet, weil meine komplexe Integration auf einer anderen Webseite auch mit diesem Wert berechnet wurde, da war |A₁|=|A₂|, wieder für die Achtelellipse

viele Grüße, Bert Wichmann

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Hallo

Du hast nicht beantwortet warum der Bogen über S1 Länge von S1 durch cos(β) ist?

2. was hat das ganze mit der Gleichheit der 2 Flächen zu tun (die ich nicht bezweifle)

(die Bögen stehen nicht in einem besonderen Verhältnis zu den Flächen)

3. von Katheten spricht man nur in rechtwinkligen Dreiecken S3 ist nicht Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck

4. den Satz "die gestreckte Bogenlänge von B1,die wird auch eine Gerade und ist damit die neue Hypotenuse auf S3 - rein hypothetisch" verstehe ich überhaupt nicht.

lul

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dies ist die gestreckte Länge des Bogen's als Gerade und wird damit wieder eine Hypotenuse, es gibt leider keinen anderen Bildungsvorschlag, oder?

der Bogen wird auf S3 gestreckt als Gerade dargestellt

die Bögen stehen nicht im Verhältnis zur Fläche, dies weiß ich

S3 wird jeweils eine neue Hypotenuse, die gedrehten Einzelsekanten, daraus entsteht ein neues rechtwinkliges Dreieck, jeweils

mehr kann ich dazu nicht sagen.....

viele Grüße, Bert Wichmann

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man könnte diese Abhängigkeit evtl. mit Kreisen nachrechnen, jede Ellipse ist doch auch ein spezieller Kreis, oder?

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Hallo

die "Gestreckte Länge des Bogens" ist doch einfach die Bogenlänge? meine Frage war, warum das Sekante/cos(β) ist?

Nein eine Ellipse ist kein spezieller Kreis. es ist eine affine Abbildung des Kreises, also ein Kreis der z.B in x Richtung mit dem Faktor b/a gestaucht ist. also etwas sehr anderes als ein Kreis. der Bogen über einer Kreissehne und derBogen über einer Ellipsensehne derselben Länge sind nicht gleich!

lul

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So wie es aussieht sind die beiden eingeschlossenen Flächen A und B jeweils symmetrisch zu Ihrer Bogenmitte....., wie dies bei einem Kreis gegeben ist, nur daß da zusätzlich A und B gleichgroß sind! Warum soll dies also nicht vergleichbar sein?

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Nein ,nicht symmetrisch zur Bogenmitte , oder wie kommst du darauf , schon wie findest du die Bogenmitte?

lul

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Bogenmitte ist die jeweilige Orthogonale auf S1 bzw S2 in deren Mitte und da sind die Flächen A und B jeweils für sich symmetrisch, wie bei einem Kreis

viele Grüße, Bert Wichmann

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Habe es für einen Kreis r=5 durchgerechnet erhalte da für

1/8*U=1/4*pi*r=3,92699, ein zu großes Ergebnis von 4,142135

bin mit meinem Latein am Ende....., kann jemand helfen?

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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ich könnte höchstens noch die Kreisgleichungen für Graph A und Graph B aufstellen und damit dann die jeweiligen Radien berechnen....

y^2/25+x^2/64=1  und (x-g)^2+(y-d)^2=r^2, g und d berechnen

habe zwei Punkte der Achtelellipse, kann damit den zugehörigen Radius des jeweiligen(!) Kreises bestimmen

die Symmetrie der Flächen A und B hatten wir ja wie bei einem Kreis bestätigt......

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

a) mit 2 Punkten kann man keinen Krieg eindeutig bestimmen, du brauchst 3

b)der Kreisbogen hat dann nicht die Länge des Ellipsenbogens.

c) gib die Idee auf. Sowohl  die einfache Berechnung der Fläche, aus der des gestauchten Kreises ist einfach und hat nichts mit deinem Integral zu tun. Die Bogenlänge ist schwieriger, wird also numerisch gemacht bzw mit elliptischen Funktionen, die wiederum numerisch bestimmt werden.

Gruß lul

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gib die Idee auf. Sowohl die einfache Berechnung der Fläche, aus der des gestauchten Kreises ist einfach und hat nichts mit deinem Integral zu tun. Die Bogenlänge ist schwieriger, wird also numerisch gemacht bzw mit elliptischen Funktionen, die wiederum numerisch bestimmt werden.

Mir ist auch nicht ganz klar, warum Bert das macht. Aber vielleicht ist es langweilig, die Mathematik zu benutzen, die über 1000 Jahre lang entwickelt worden ist und sich die Mathematik dahinter lieber selber zu entwickeln.

Alle Beiträge von Bert waren bisher darauf ausgerichtet, recht einfache Sachverhalte der Mathematik durch neue interessante Interpretationen neu zu probieren.

Bert mag das anders sehen, aber ich habe bisher in keinem Interpretationsansatz eine Verbesserung der bisherigen Mathematik erkannt. Aber das kann ja durchaus an mir liegen.

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Gute Nacht, dies war mal eine humane Beurteilung der Sachen, die ich gemacht habe....., dafür möchte ich danken, daß mit der Guten Nacht meine ich ernst, für mich, habe keine Lust mehr mich jeden Tag mit diesem Kram, bei der Resonanz, zu beschäftigen! Wenn es Euch interessiert: werde jetzt nur noch meine kleine Freundin treffen und Bier trinken. Viele Grüße, Bert Wichmann!

Viel Spaß noch beim "Rechnen"!

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Hallo

ich finde es nicht schlecht, sich selbst in Mathe etwas zu überlegen, Schlecht finde ich nur, dass Bert typisch mathematisches Vorgehen nämlich genau argumentieren und auf Argumente eingehen nicht mag. seine einzigen Argumente sind auf einige Stellen genaue numerische Werte, die zum Teil durch Vergleiche bzw. Proportionalitätsfaktoren zu bekanntem erreicht werden.

Aber warum nicht versuchen ihn doch noch mit Argumenten zu überzeugen? (Mathematiker haben viel Geduld, jedes Institut hat jemand der geduldig auf Kreisquadrierer und einfach Fermat Beweise eingeht, warum nicht auch unser forum? keiner muss ja)

Gruß lul

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@ Bert

Bogemitte ist nur beim Kreis durch die Senkrechte auf der Sehnenmitte bestimmt, zeichne die Mittelsenkrechte auf S3 dann siehst du es noch deutlicher als bei S1, bei den kleineren Sehnen ist es nicht so offensichtlich. Sei wirklich vorsichtig bei etwas was man leicht denkt zu "sehen" aber nicht beweisen kann,

lul