Berechne den Faktor k mithilfe der gegebenen Temperaturwerte.

Question

Um Mitternacht wird ein Leichnam gefunden. Die Umgebungstemperatur beträgt konstant 17,4 °C. Die Temperatur ϑ des Leichnams beträgt zwei Stunden später noch 25,2 °C. Der Temperaturverlauf kann durch folgende Funktion beschrieben werden:
ϑ (t) = ϑ_U + (ϑ₀ - ϑ_U)•e^-k•t
t... Zeit nach dem Tod in Stunden, ϑ(t) ... Temperatur zur Zeit t in °C,
ϑu... Umgebungstemperatur in °C, ϑ₀ = 27°C ... Körpertemperatur um Mitternacht
1) Berechne den Faktor k mithilfe der gegebenen Temperaturwerte.
2) Bestimme den Todeszeitpunkt.
3) Ermittle, welche Temperatur der Leichnam nach sehr langer Zeit hätte.

Answer 1

Die Umgebungstemperatur beträgt konstant 17,4 °C.

17,4 für ϑ_U einsetzen.

Die Temperatur ϑ des Leichnams beträgt zwei Stunden später noch 25,2 °C.

25,2 für ϑ(t) einsetzen und 2 für t einsetzen.

ϑ₀ = 27°C ... Körpertemperatur um Mitternacht

Einsetzen.

Gleichung lösen.

2) Bestimme den Todeszeitpunkt.

36,6 für ϑ(t) einsetzen und Gleichung lösen.

3) Ermittle, welche Temperatur der Leichnam nach sehr langer Zeit hätte.

Globalverlauf für t→∞ bestimmen.

Answer 2

\(  ϑ (t) = ϑ_U + (ϑ_0 - ϑ_U)•e^{-k•t} \)

==>  \(  ϑ (t) = 17,4 + (27 - 17,4)•e^{-k•t} = 17,4 + 9,6•e^{-k•t}  \)

Wenn man Mitternacht für t=0 nimmt. Also

wegen ... zwei Stunden später noch 25,2 °C....  hat man

\(    25,2 =  ϑ (2) = 17,4 + 9,6•e^{-k•2}  \)

==>  \(    7,8 =  9,6•e^{-k•2}  \)   ==>  \(    0,8125 = e^{-k•2}  \)

==>   \(   ln( 0,8125 )  = -2k  \)  ==>  k=0,1038

Also    \(  ϑ (t)  = 17,4 + 9,6•e^{-0,1038•t}  \)

Und wenn man von 37° beim Todeszeitpunkt ausgeht

    \(  37 = 17,4 + 9,6•e^{-0,1038•t}  \)

    \(  19,6 =  9,6•e^{-0,1038•t}  \)

    \(  2,04 =  e^{-0,1038•t}  \)

  \(  0,714=  -0,1038•t \)

     t=-6,9

Also 6,9 Stunden vor Mitternacht, etwa um 17:06h

war der Todeszeitpunkt.