Aloha :)
Wenn du eine Potenz \(x^n\) ableitest, multiplizierst du zuerst mit dem Exponenten und verminderst ihn danach um Eins:$$x^n\stackrel{(\text{ableiten})}{\to} n\cdot x^{n-1}$$Beim Integrieren musst du das Gegenteil in umgekehrter Reihenfolge tun, also zuerst den Exponenten um Eins erhöhen und danach durch den neuen(!) Exponenten dividieren:$$x^n\stackrel{(\text{integrieren})}{\to} \frac{x^{n+1}}{n+1}$$
Bei deinen beiden Beispielen sieht das dann so aus:
$$I_j=\int\limits_{-1}^5\left(\frac{x^3}{4}-\frac{x^2}{3}+\frac15\right)dx=\int\limits_{-1}^5\left(\frac14\cdot x^{\pink3}-\frac13\cdot x^{\green2}+\frac15\cdot x^{\blue0}\right)dx$$$$\phantom{I_j}=\left[\frac14\cdot \frac{x^{\pink4}}{\pink4}-\frac13\cdot \frac{x^{\green3}}{\green3}+\frac15\cdot \frac{x^{\blue1}}{\blue1}\right]_{-1}^5=\left[\frac{x^4}{16}-\frac{x^3}{9}+\frac{x}{5}\right]_{-1}^5$$$$\phantom{I_j}=\left(\frac{5^4}{16}-\frac{5^3}{9}+\frac{5}{5}\right)-\left(\frac{(-1)^4}{16}-\frac{(-1)^3}{9}+\frac{(-1)}{5}\right)$$$$\phantom{I_j}=\left(\frac{625}{16}-\frac{125}{9}+\frac55\right)-\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-\frac{1}{5}\right)=\frac{625}{16}-\frac{1}{16}-\frac{125}{9}-\frac{1}{9}+\frac55+\frac{1}{5}$$$$\phantom{I_j}=\frac{624}{16}-\frac{126}{9}+\frac65=39-14+\frac65=\frac{131}{5}$$
$$I_k=\int\limits_1^2\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\limits_1^2\left(\frac12\cdot x^{\pink1}+x^{\green{-2}}\right)dx=\left[\frac12\cdot \frac{x^{\pink2}}{2}+\frac{x^{\green{-1}}}{\green{-1}}\right]_1^2=\left[\frac{x^2}{4}-\frac1x\right]_1^2$$$$\phantom{I_k}=\left(\frac{2^2}{4}-\frac12\right)-\left(\frac{1^2}{4}-\frac11\right)=1-\frac12-\frac14+1=2-\frac34=\frac54$$
