Monotonie und Krümmung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die zweimal differenzierbare Funktion f. Für x > 0 gilt f(x) > 0 , f’(x) > 0 und f’’ (x) > 0 .

a) Geben Sie die Eigenschaften an, die daraus für die Funktion f und ihren Graphen folgen.

b) Untersuchen Sie, ob der Graph von g ebenfalls diese Eigenschaften besitzt.

A) g(x)=x+f(x)

B) g(x)=x• f(x)

C) g(x)=(f(x))^2

D) g(x)= « Wurzel von f(x) »

Problem/Ansatz:

a)  1• Linkskurve, da f’’(x)>0

    2• Streng monoton wachsend, da f’(x) > 0

    3• f(x) >0 , kein negatives Vorzeichen?

b) A) 1. g’’(x)= f’’(x)

       2. g’(x)= 1+f’(x)

       3.

   B) 1. g’’(x)= f’(x)+x•f’’(x)

        2. g’(x)= 1• f(x)+ x • f’(x)

Ich mach lieber nicht weiter weil mir meine Vorgehensweise suspekt erscheint. Bitte um Rat. Ist das Richtig?

Comments

Könnte man vielleicht f(x) « benennen » (es heißt eigentlich nicht benennen, ich weiß).

Würde vielleicht f(x)= 1/x Sinn machen? Dass müsste dann doch alle Bedingungen erfüllen. Dann kann man 1/x einsetzen und man käme eventuell weiter? Hilfe

Answer 1

Hallo

a) 1. und 2. richtig , 3: besser F(x) hat  nur positive Werte, oder der Graph liegt oberhalb der x Achse.

b) hier sollst du sagen also auch g ist links gekrümmt

, g' ist auch >0 also  auch monoton steigend

nur g(x)>0 muss nicht stimmen sondern kann für x<0 auch negativ sein.

genauso musst du bei den anderen überlegen,

B g(x)=x*f(x)

g'=f(x)+xf'(x)  hat nur für x>0 dieselben Eigenschaften wie f(x)

g''=2f'(x)+xf''(x)  such hier g''>0 nur für x>0  für x<0 kann es auch 0 oder negativ werden.

C ) hat dieselben Eigenschaften wie f (musst du natürlich nachrechnen)

D überlass ich dann dir