Beispiel für zwei überabzählbare Mengen

Question

Aufgabe

1.) Gib ein Beispiel für zwei überabzählbare Mengen A und B, so dass A ∪ B endlich ist oder zeig, dass solche Mengen nicht existieren!

2.) Gib ein Beispiel für zwei überabzählbare Mengen A und B, so dass A ∪ B abzählbar ist oder zeig, dass solche Mengen nicht existieren.

Problem/Ansatz:

Ich würde argumentieren, dass in beiden Aufgaben solche Mengen nicht existieren! Habe ich recht?

Comments

Natürlich gibt es da überhaupt keine "Beispiele", weil beides einfach unmöglich ist.

Oder hast du allenfalls das Zeichen " ∪ " für die Vereinigung von Mengen mit dem für die Schnittmenge " ∩ "  verwechselt ?

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Danke! Nein das Zeichen war so “Vereinigung”

Answer 1

Es gilt \(A\subseteq A\cup B\) und \(B\subseteq A\cup B\).

Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich,

jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar.

Hieraus folgt, dass es weder bei 1. noch bei 2. solche Mengen

\(A\) und \(B\) gibt.

Comments

Danke! Sehr gut!

Answer 2

1) R ist überabzählbar

(0;1) ist überabzählbar

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Und was wäre die Schlussfolgerung. Dass A ∪ B abzählbar ist oder endlich ?

Answer 3

zu 2) Die Vereinigung zweier Mengen hat mindestens die Mächtigkeit der größeren von beiden. Wenn also beide überabzählbare Mengen sind, ist auch ihre Vereinigung überabzählbar.

Comments

Zum Beispiel, R+ ist überabzählbar und R- ist überabzählbar, d.h. R+ ∪ R- ist auch überabzählbar? So Beispiel? Danke

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Die (von der Mächtigkeit her) kleinste Vereinigung zweier Mengen entsteht, wenn eine der beiden Teilmenge der anderen ist. Das Beispiel von Mitglied 'ggT22' ist also besser.